Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

160 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Мы видим, что — рационально выражается через ]/ — SD^j). Легко полу-
чить, что 2^ отличается от — только знаком при 1/ — 3D(fi>j). Тем самым те-
Tll 11
орем а в части необходимости доказана. Достаточность также непосредственно следует из найденного представления ^1 и ^Я .
Til TJ!
Действительно, если точка [ — , ^Д) принадлежит области Q, то ее коор-
\Ч1 41/
динаты могут быть представлены соответственно в виде
с рациональными коэффициентами и и v.
Из сравнения этих формул с формулой представления — через коэффи-
циенты а и Ь легко найти эти последние. Они оказываются рациональными. Теорема доказана полностью.
Теорема 3, Для того чтобы кубическая область U была приводимой. необходимо и достаточно, чтобы, одна из точек (т), TJ); (TJS, rjs2); (т)?2, TJS) принадлежала квадратичной области Q. Здесь через (i|, TJ) обозначена проекция любой точки общего положения области U.
Доказательство. Пусть область U приводима. Тогда координаты какой-нибудь ее точки общего положения суть корни приводимого кубического уравнения о)8 — so>2-|-<7 — л = 0. Обозначим через о> рациональный корень уравнения, через о)' и о>" остальные корни. Эти последние могут быть представлены в виде a-h^l/D, где и и v — рациональные числа, a D — дискриминант максимального кольца области. Координаты проекции в этом случае будут:
= 's2-j-a>"s = o> — и — v — 3D,
л, следовательно, точка (ij, ij) принадлежит области Q.
Если бы рациональным корнем было не о>, а о>' или о>", то принадлежала бы области Q точка (TJS, т]?2) или (jje2, i)e)._ _
Обратно, если одна из точек (т), i|), (TJS, J)?2), (т)е2, т)е) принадлежит квадратичной области, то одно из чисел
будет рациональным, и, следовательно, уравнение, которому удовлетворяют координаты точки, проекцией которой является (j), jj), будет приводимым.
Теорема 4. Для того чтобы квадратичная область Q, на которую опирается кубическая область U, была приводимой, необходимо и достаточно, чтобы область U была чисто кубической или производилась уравнением о)3 —1 = 0.
Доказательство следует из того, что у таких, и только таких, кубических •областей —3D—полный квадрат.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика