Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

130
ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
ТАБЛИЦА ОБРАЗУЮЩИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРИВОДИМЫХ МАКСИМАЛЬНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕЦ ДЛЯ ВСЕХ YD < 100
YD * q я 1/5 * ' ' " YD * q n ,/D s q n
7 2 i —1 31 5 2 — 8 63 9 —6 — 1 79 10 — 7 — 1
9 3 0 —1 37 7 _ 4 — 1 63 9 —6 — 8 91 11 —10 — 8
13 4 —i —1 43 7 — 2 — 8 67 7 6 —27 91 10 — 3 —27
19 5 _ 2 — 1 61 5 12 —27 73 8 3 —27 97 11 — 8 — 1
Б. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 32. Геометрия кубической двойничной формы и ее ковариантов
Хорошо известна (см., например, приложение к русскому переводу лекций по теории чисел Дирихле) интерпретация квадратичной двойничной формы с вещественными коэффициентами при помощи двухсторонника, заданного в плоскости с точностью до обычного поворота, в случае D ~^> 0, и с точностью до гиперболического поворота, в случае ?><0. Мы покажем в этом параграфе, как кубическая двойничная форма / с вещественными коэффициентами может быть интерпретирована при помощи двухсторонника в плоскости, но такого, который вполне 'задан. Все коварианты /, Н, Q, D полной системы ее ковариантов интерпретируются тем же двухсторонником, которым интерпретируется сама форма /, причем квадратичная форма Н и дискриминдт D—в обычном смысле.
Пусть f(X, Y) = aX3-b-bX*Y-\-cXY2-\-dYs — какая-угодно кубическая двойничная форма с вещественными или комплексными коэффициентами а, Ь, cud. Мы будем, как в§ 15, называть корни plt PJ, pJ уравнения f(X, a)=0 левыми, а корни р2, р'2, р? уравнения f(d, — X) = 0 правыми корнями формы/.
Если/j—левый корень, то, как легко видеть, #2=—-------правый корень /.
Такие два корня / мы будем называть соответственными и будем предполагать, что р, и р2, pj и pj, PJ и PJ — попарно соответственные.
Начнем со следующей леммы, являющейся перефразировкой способа Лаг-ранжа для решения кубического уравнения при помощи резольвент на случай кубической двойничной формы.
Лемма I. Если коэффициенты а, Ь, с, d формы f— какие угодно вещественные или комплексные числа, то имеет место тождество в XY:
fiy v\__ 1 i ?а__—з\
f(X, Y)— ^(5 — 7j),
где 6 = 5,*-И,К; г, = 7),*+^ 5, = pt + spj + s2?;'; 4l = р, + i
S2 = P2 + sp2 + s2p;; 42 = P2+?2P2+?P2' причем s = e~* и Ь =
Действительно, принимая во внимание, что Pip2:= — ad, мы получаем ар2= р2_|_ ftp,,-)-ас; dpl = —Р2~ЬсРг — ***• Подставляя это в Д и, далее,
__ ___ ___ __ •»
полученное Д в коэффициенты а, Ь, с, d выражения ^д (S3 — ij3), мы убеждаемся прямым вычислением, что они равны а, Ь, с, d.
Определение ковариантов, т. е. гессиана Н, якобиана Q и дискриминанта D кубической двойничной формы /— следующее:
я=-7
дх*' dxdy
J?2/^ дх~ду' ду*
_ Зас) X* + (be — 9arf) XY-\- (с2 — 3bd) = АХ*-\-BXY-\-CY*;

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика