Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

110 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Итак, число ю= _i±lOlf2? При а, = ±1, и только тогда, если 9^/=<з^(тоА§), aj=/(mod3) и cr2=g- (mod3). Удовлетворить этим условиям можно, только если Л = ;+; 1 (mod 9).
Действительно, если Окончательно, за базис чисто кубического поля может быть принята система
чисел 1, р, р, если Аф^\ (mod 9), и система чисел 1, р, ^ 'Р> если
Л = 1 (mod 9).
Дадим теперь параметрическое представление для уравнений, корнями которых являются числа чисто кубических полей. Для этого прежде йсего покажем, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы кубическое число о> было чисто кубическим, является
при рациональном d.
Необходимость этого условия вытекает из Проведенного выше подсчета дискриминанта чисто кубического числа.
Докажем достаточность. Пусть ю8 = sm2 -|- дю -f- п — уравнение, дискриминант которого есть — 3dz. Без нарушения общности можно считать s = 0. По известному правилу Кардана, ю = а-(гр\ где а и (5 суть числа, удовлетворяющие системе уравнений:
Очевидно, что (а8 — JJ8)2 = я2 — 27" = — 27 = Гз") ' Следовательно, а8 —
— ^8 — рациональное число и числа а и ji — чисто кубические. Так как ^ = Д- , они
принадлежат одному и тому, же чисто кубическому полю, которому, вместе с ними, будет принадлежать и m = a-|-(J. Тем самым достаточность высказанного условия доказана.
Легко теперь проверить, что уравнение
дает параметрическое представление всех уравнений, которым удовлетворяют числа чисто кубических полей, имеющие s = 0.
В самом деле, дискриминант этого уравнения D = — 27a2ji2 (a -f- ji)2 удовлетворяет необходимому и достаточному условию при рациональных значениях параметров а и JJ. Обратно, если дискриминант D уравнения & = qm-\-n удовлетворяет условию ?>= — 3d2, то можно найти подходящие рациональные значении для параметров из уравнений ' .
— Р = Т-
3 Вычислим еще дискриминант кубического поля Qy А; он равен
1, Р .
1, р', р'
Ь р", Р"
=_27/V,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика