Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

100 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Предположим теперь, наоборот, что среди множителей (7j (я) ... Uk(x) есть одинаковые по модулю р, например (7j (л;) и U2 (x). В таком случае, очевидно, все члены правой части (2) делятся на (р, U^ (p)). Тогда и левая часть (2) делится па (р, U^ (р)), а, следовательно, и Z)^=Af(/'(p)) делится на р. Но так как, по предположению, р не входит в индекс Др числа р, a Df=Ds-^z, то р есть делитель дискриминанта DS поля Qp.
Теорема Дедекинда, таким образом, доказана для всех простых чисел р, которые не суть общие делители всех индексов.
В случае кубического поля, т. е. когда л==3, общим делителем всех индексов может быть только число 2. Но мы видели, что если 2 есть общий делитель всех индексов, т. в. если индекс-форма (fl, b, с, d) поля имеет оба крайние коэффициента четные, а оба средние нечетные, то 2 разлагается на три различных простых идеала 1 -го порядка, и вместе с тем в этом случае 2' не есть делитель дискриминанта Da поля, так как Da =^(л, ь, с d) == ^°Z ~Ь ^ а^с^ — — 4 ас3 — 463rf — 27 a2d* — в этом случае число не'чётное; поэтому для кубического поля получается полная теорема Дедекинда.
Замечание. Теорема Дедекинда верна также и для любой приводимой максимальной трехмерной решетки, так как в простое число р может входить простой идеал в степени выше, чем в 1-й, как это ясно из разложений, выписанных в § 19, тогда и только тогда, когда Os = 0j@02, р имеет разложение /> = pi J>2 ft, и в идеалах рг = (1).ф(р',); р8 = (1)ф (ра') оба идеала pj, pa' квадратичного поля 02> одинаковые, т. е. в р входит его простой идеальный множитель квадратичного поля 02 выше, чем в 1-й степени. Но это будет тогда и только тогда, когда р есть делитель дискриминанта D0i этого квадратичного поля, так как в квадратичном поле, как легко видеть, нет общих делителей индексов. Но ?>л = D0t • D0j (тут DOt даже равен 1 ) и, следовательно, р имеет кратный простой идеальный делитель в Оа тогда и только тогда, когда р есть делитель D0f
Аналогично можно показать, что теорема Дедекинда верна и для любой приводимой максимальной решетки любого числа измерений.
§ 21. Дальнейшие теоремы о разложении рациональных простых чисел на простые идеалы в кубическом поле
Будем обозначать через р простые идеалы 1-го, через q 2-го, а через тг 3-го порядка. В таком случае, если простое число р не есть делитель дискриминанта 'рассматриваемого кубического поля Q_, то возможны только три случая:
Р = т,
где pj, p2> ?s — различные простые идеалы 1-го порядка. Можно показать, что если кубическое и не циклическое, то есть бесконечно много простых чисел р, имеющих разложение как 1-го, так и 2-го и 3-го сорта. А именно, что плот-
> 132'
ности простых чисел этих сортов равны -^ , — , — . Если же кубическое
поле циклическое, то все простые числа р имеют разложение либо 1-го, либо
„ 1 2
о-го сорта, причем плотности соответствующих простых чисел равны -^ и •=- .
о о
Наконец, если 08 приводимая максимальная решетка типа 01@OZ, то суше-ствуют только разложения 1-го и 2-го сорта, причем плотности соответствен-
ных простых чисел суть - и - ; если же она типа 01@01@01, то все
простые числа имеют только разложения 1-го сорта. Теорема о решетке GI ф 0J © Oj очевидна из § 19, теорема о решетке типа Oj(J)02 следует из легко получаемых теорем о разложении простых чисел р в квадратичном поле. Теоремы же о неприводимой решетке 03, т. е. о разложении простых чисел

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика