Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

',70 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АРИФМЕТИКА. ФИНИТНАЯ УСТАНОВКА [ГЛ. II
а функция ф, существование которой извлекается из аксиомы выбора, представляет собой сопоставление действительного числа сх его номеру х.
Применение принципа выбора, который в качестве особого допущения впервые был отмечен и сформулирован в его теоретико-множественной редакции Эрнстом Цермело, представляет собой еще один тип выхода за рамки финитной точки зрения, превосходящий по своей силе даже применение закона «tertium non datur». Рассмотрение приведенных выше примеров показывает нам, что построение исчисления бесконечно малых в том виде, как это делается после разработки строгих методов, производится не в смысле сведения к финитному арифметическому мышлению. Произведенная здесь арифметизация учения о величинах никоим образом не может считаться совершенной, поскольку с нею вводятся определенного рода систематические фундаментальные представления, которые не относятся к области наглядного арифметического мышления. Строгое построение анализа привело нас только к пониманию того, что этих немногих фундаментальных допущений уже вполне достаточно для построения теории величин как теории •числовых множеств.
Методы анализа господствуют в таких крупных разделах математики, как теория функций, дифференциальная геометрия, топология (Analysis situs). Наиболее далеко идущее использование нефинитных гипотез происходит в общей теории множеств, которая в этом отношении далеко превосходит даже анализ, а методы теории множеств в свою очередь вторгаются в современную абстрактную алгебру и в топологию.
Таким образом, анализ в его обычном изложении совершенно не согласуется с финитной точкой зрения; напротив, он самым •существенным образом опирается на дополнительные логические лринципы. Поэтому, если мы хотим сохранить анализ в его нынешнем виде, а с другой стороны, признаём претензии финитной точки зрения, учитывающей соображения очевидности, то мы оказываемся перед необходимостью обосновать — посредством установления их непротиворечивости — те принципы, применение которых выводит нас за пределы финитной точки зрения. Если нам удастся доказать непротиворечивость способов умозаключений, обычно применяемых в анализе, то мы сможем приобрести уверенность в том, что результаты этих умозаключений никогда нельзя будет опровергнуть при помощи финитно установленного факта или финитным рассуждением. Действительно, финитные методы являются составной частью традиционного анализа, и потому финитное опровержение какого-либо предложения, доказанного традиционными средствами анализа, должно было бы означать наличие противоречия внутри самого традиционного анализа.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика