Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

60 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АРИФМЕТИКА. ФИНИТНАЯ УСТАНОВКА [ГЛ. II
ственным образом. Так, например, суждение вида «для всякой цифры I, обладающей свойством ЭД (?), существует цифра I, для которой имеет место 23 (?, !)» финитно должно рассматриваться как неполное сообщение о некотором способе, который для всякой цифры Г, обладающей свойством ?I (f), позволяет находить цифру !, которая находится к ? в отношении 23 (Е, I).
Особой осмотрительности требует применение отрицания.
Оно не представляет проблемы в случае элементарного суждения, т. е. суждения, касающегося вопроса, который может быть разрешен путем прямой наглядной констатации («узрения»). Например, если J и 1 — вполне определенные цифры, то можно непосредственно установить, справедливо ли равенство
т. е. совпадают ли цифры ? + 5 и К.
Отрицание такого элементарного суждения попросту означает, что результат соответствующей наглядной проверки отличается от того, что утверждается в суждении; для элементарного суждения всегда имеет место альтернатива, заключающаяся в том, что либо справедливо оно само, либо его отрицание.
Напротив, для всеобщего и для экзистенциального суждения без специальных разъяснений не ясно, что именно должно считаться его отрицанием в финитном смысле.
Рассмотрим сначала экзистенциальные высказывания. То, что не существует цифры п, обладающей свойством ЭД (п), можно было бы в нестрогом смысле слова понять как констатацию того факта, что у нас нет в распоряжении цифры с этим свойством. Однако такая констатация, ввиду ее соотнесенности со случайным состоянием наших знаний, не имела бы никакого объективного смысла. Если же мы хотим, чтобы несуществование цифры п, обладающей свойством ЭД (п), утверждалось независимо от состояния наших знаний, то в финитном смысле это может быть осуществлено лишь посредством некоторого утверждения о невозможности, т. е. утверждения, выражающего тот факт, что никакая цифра п не может обладать свойством ЭД (п).
Так мы пришли к усиленному отрицанию; однако это последнее не является точной контрадикторной противоположностью экзистенциального утверждения «существует цифра п со свойством 21 (л)», которое, будучи частичным суждением, содержит в себе ссылку на некоторую определенную цифру, обладающую этим свойством, или же на способ, которым мы располагаем для построения такой цифры.
Экзистенциальное высказывание и его усиленное отрицание не являются, как это имеет место в случае элементарного высказывания и его отрицания, высказываниями о двух единственно возможных исходах одного и того же акта проверки, а соответст-

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика