Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

530 ПОНЯТИЕ «ТОТ, КОТОРЫЙ» И ЕГО УСТРАНИМОСТЬ [ГЛ. VIII
Но эти все выводы мы немедленно получим с помощью исчисления предикатов, опираясь на перестановочность оператора редукции с логическими связками.
5. Формулировка теоремы об устранимости; переводимость всякой формулы в ее редукцию; сравнение различных методов устранения. В общем и целом, наши последние рассуждения приводят к следующему результату:
Будем исходить из некоторой формальной системы, состоящей из расширенного (при помощи аксиом равенства) исчисления предикатов, к которому могут быть добавлены какие-нибудь собственные аксиомы, а также, быть может, аксиома индукции (соответственно схема индукции). Если совокупность термов такой системы расширить путем соотнесения формулам ЭД (с) i-термов i_?l (j) и если дополнительно принять в качестве аксиомы формулу {i} или же добавить соответствующую схему формул, то это не расширит запаса выводимых формул, не содержащих i-симво-лов. Или, как мы еще будем говорить: из вывода любой формулы, не содержащей i-символов, i-символы могут быть устранены. Ввиду сказанного выше х), устранимость эта будет иметь место и для выводов, в которых i-термы вводятся и используются в соответствии с нашим первоначальным i-правилом, и для выводов, использующих обобщенное i-правило.
Одновременно мы установили, что для всякой формулы, выводимой с использованием i-правила, ее редукция выводима без использования i-символов. В дополнение к сказанному мы покажем, что если допустить выводы с использованием i-правила 2), то всякая формула ^ будет переводима в свою редукцию. Мы докажем это индукцией по числу логических знаков в $, причем i-сим-волы также будем причислять к логическим знакам. Для случая, когда рассматриваемое число равно нулю, наше утверждение тривиально, так как g тогда не содержит i-символов и тем самым 3J (%) совпадает с %. Если % составлена из каких-либо других формул с помощью связок логики высказываний, то это утверждение может быть получено средствами исчисления высказываний на основе нашего индукционного предположения. В том случае, когда % имеет один из видов Vj^i (?)> 3%%i (?)> это утверждение совершенно аналогичным образом может быть получено средствами исчисления предикатов на основе имеющегося у нас индукционного предположения.
Остается рассмотреть случай, когда % является элементарной формулой 5Р (i^i fei)> • • -, ljr$r fer)) c внешними i-термами
x) См. с. 515—517.
2) Где фигурируют, следовательно, только собственные i-термы.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 550


Математика