Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

440 РЕКУРСИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (ГЛ. VII
в зависимости от того, совпадает или не совпадает t со значением t - § х).
Если бы мы захотели добавить а — Ъ к системе (D) в качестве терма, то это проще всего было бы сделать, добавив к аксиомам этой системы формулы
(а + Ь) — а = Ъ и
а — (а + Ь) = 0.
В получившейся таким образом системе (Di) посредством равенства
б (Я) = п - V
можно было бы явно определить функцию б (п) и на основании этого определения вывести рекурсивные равенства для б (п) и а — Ь. Тем самым из этой системы (D^ можно было бы вывести все формулы системы (С).
3. Доказательство непротиворечивости и полноты системы (D) с помощью метода редукции; непредставимость умножения в формализме системы (D). Переход от системы (В) к системе (D), как мы видели, представляет собой существенное расширение нашего формализма. И все же в результате этого расширения ситуация, обнаружившаяся при рассмотрении системы (В), в принципиальном отношении не меняется. Более того, для (D) могут быть получены результаты, совершенно аналогичные тем, которые были установлены нами для системы (В).
Прежде всего, нам требуется доказать непротиворечивость системы (D), так как эта последняя еще не вытекает из непротиворечивости системы (В), а также и из непротиворечивости рекурсивной арифметики, в которой, как мы помним, было запрещено использование связанных переменных. Метод, пользуясь которым мы в гл. VI доказали непротиворечивость системы (В), теперь может быть приспособлен для рассмотрения системы (D) и он, помимо непротиворечивости, дает для этой системы также соответствующие теоремы о полноте. Этот метод, предложенный Прес-бургером 2), мы изложим здесь не во всех подробностях, а лишь
1) С другой стороны, заметим, что равенство
+ 6 = с
может быть представлено внутри системы (С) формулой
с JL 6 = о & 6 -^ е = 0.
2) Presburger М. Uber die Vollstandigkeit eines gewissen Systems der Arithmetik ganzer Zahlen, in welchem die Addition als einzige Operation hervortritt.— Comptes Rendus du Premier Congres d. Math, das Pays Slaves, Warschau, 1930.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика