Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

340 НАЧАЛА АРИФМЕТИКИ [ГЛ. VI
выводимая из системы (А*) и не содержащая формульных переменных, является верифицируемой 4).
По отсюда ледует, что формула Z (а) не может быть выведена из системы (А*), так как она не верифицируема. Действительно, если мы заменим в ней переменную а цифрой со, то она перейдет в ложную формулу Z (со).
Тем самым невыводимость аксиомы индукции из системы (А) установлена.
В качестве следствия мы можем получить отсюда и независимость аксиомы индукции от остальных аксиом системы (В); действительно, все эти аксиомы, как мы знаем, выводимы из системы (А).
2. Доказательства независимости с помощью метода подстановок. После этого мы для обеих систем (А) и (В) установим независимость входящих в их состав аксиом. Для большей части аксиом доказательство нам удастся провести с помощью одного очень простого приема, основанного на следующем соображении.
Пусть в рамках нашего формализма дан вывод какой-либо формулы 21 из определенных аксиом 21 j, • • ., 2Ij, осуществленный при помощи исчисления предикатов. Пусть, далее, © (а, Ь) — некоторая формула нашего формализма, не содержащая переменных, отличных от а и Ъ. Заменим в рассматриваемом выводе всякое равенство а = Ь формулой (5 (а, Ь) и обозначим посредством 21*, . . ., 21 j, ЭД* формулы, которые в результате этой замены получатся из формул Hi, • • •» 21 j, 21. Тогда у нас получится вывод формулы И* из формул 21*, . . ., 21*.
Действительно, в рамках исчисления предикатов знак равенства используется не иначе, как с привлечением правила подстановки и аксиом. Однако в отношении подстановки формула & (а, Ь) обладает теми же самыми возможностями, что и формула а = &, а в аксиомах нами была произведена замена знака равенства с аргументами а и Ь соответствующим ему выражением 6 (а, Ь). Аналогичное рассуждение может быть проведено и тогда, когда описанная замена производится не для равенств а = Ь, а для неравенств а < Ь.
Такое положение вещей позволяет нам пользоваться следующим приемом для установления независимости тех или иных аксиом. Для того чтобы показать, что в рамках рассматриваемой нами совокупности формул какая-либо формула 21 не выводится иэ данных аксиом 2Ii, • • ., 2Ij, достаточно так подобрать формулу ® (а, Ь), не содержащую переменных, отличных от а и Ь, чтобы при замене каждого равенства а = Ь (или же каждого неравенства с <Ь) соответствующим ему выражением & (а, Ь) фор-
См. с. 305.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика