Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

310 НАЧАЛА АРИФМЕТИКИ (ГЛ. VI
щиеся в нем термины должны пониматься в измененном смысле. Тогда мы, во-первых, снова сможем констатировать, что формулы (Ji), ( (Pi) и (pa)> a также все формулы без формульных переменных, которые получаются из формулы (J2) в результате подстановки, являются верифицируемыми*, а затем на основании теорем о редукции (справедливость которых мы обеспечили соответствующим изменением процедуры редукции) получается, что каждая формула, выводимая из рассматриваемых нами аксиом, является верифицируемой. Отсюда следует, что формула
а <Ь->- а' = Ъ V а' < Ъ
не может быть выведена из наших аксиом. Действительно, эта формула не является верифицируемой в смысле нашего нового определения, так как если мы заменим в ней переменную а цифрой 0, а Ъ — цифрой а, то получим формулу
О <а-> 0' = а V °' <«, которая является ложной.
2. Подход к пополнению этой системы аксиом; выводимость ряда зквивалентностей как достаточное условие. Создавшаяся в результате всего этого ситуация не является неожиданной, так как система наших аксиом и правил формализует только четыре из пяти пеановских аксиом арифметики, между тем как аксиома полной индукции нами пропущена.
Достоин внимания тот факт, что для пополнения нашей системы аксиом вовсе не обязательно добавлять саму аксиому индукции ни в виде формулы, ни в виде схемы и что для того, чтобы всякая верифицируемая формула оказалась также и выводимой, вместо нее достаточно взять некоторые элементарные аксиомы.
Путь к такому пополнению нашей системы аксиом указывает процедура редукции. Действительно, для того чтобы добиться выводимости всякой верифицируемой формулы, нам только нужно позаботиться о том, чтобы каждая формула без формульных переменных была дедуктивно равна своей редукции. В самом деле, если это условие выполнится в результате добавления определенных (построенных из рассматриваемых нами символов) аксиом, то тогда окажется, что всякая верифицируемая формула выводима. Для того чтобы установить этот факт, предварительно докажем, что каждая истинная нумерическая формула выводима из нашей системы аксиом.
Действительно, разберем следующие случаи:
1. Истинное нумерическое равенство имеет вид
8«8 и получается подстановкой из формулы (Jx).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика