Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

300 НАЧАЛА АРИФМЕТИКИ [ГЛ, VI
3) 6Г (х^) имеет вид
*<Ь1& . . . & а
Тогда по редукционному предписанию вместо 3.r®t (х^) должно быть подставлено
& a| < bt & . . . & а, < Ь„ & ..............
& df Среди цифр Ьц . . ., Ьё непременно найдется такая, которая является составной частью всех остальных. Пусть эта наименьшая из цифр есть 6. Тогда вследствие истинности формулы 0^ < Ь она должна иметь вид с^1). В этом случае в качестве g мы возьмем цифру с.
То, что в каждом из перечисленных возможных случаев построенная нами цифра j обладает нужными свойствами, т. е. то, что для нее оказывается истинной формула ЭД (j), можно проверить обратным прослеживанием процедуры редукции, с учетом указанных в утверждениях а) — ж) интуитивно ясных фактов.
Тем самым мы доказали лемму 2, а заодно завершили и доказательство нашей теоремы об однозначности. Объединение этих двух предложений теперь приводит нас еще и к следующему результату.
Теорема. Пусть 9R (a) — редукция формулы 48. (а) и & — редукция формулы Зх Ч8.(х) [а не входит в 21 (х)]; пусть, далее, формулы $1' (а) и &' получаются из $1 (а) и g> в результате замены свободных переменных, одновременно встречающихся в 21 (х), 9R (х) и g>, какими-либо цифрами. Тогда, если для какой-либо цифры j нумерическая формула 9Г (з) истинна, то истинна также и формула ©', и наоборот: если формула <&' истинна, то из процесса редукции формулы Зх$1'(х) мы извлечем цифру j такую, что формула 9t'(3) будет истинной.
Действительно, любая редукция формулы Зх Щх) одновременно является и редукцией формулы ЭяЭД (х), и на основании нашей леммы 1 отсюда вытекает, что редукция Зх^Я' (х) является также редукцией и той формулы Э.гЭД' (х), которая получается из 3a:2t (х) в результате той же самой подстановки цифр вместо свободных переменных, с помощью которой мы получили 9Г (х) из 'Si (х) и g>' из g>. Кроме того, из этой леммы вытекает, что ©' является редукцией и для За:?!' (х). Таким образом, если Ж* — редукция формулы ЗаЖ' (х), то согласно теореме об однозначности 9t* истинна тогда и только тогда, когда истинна ©'• С другой стороны, применив лемму 2 к формуле 9t' (а) (которая не содержит

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика