Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

30 ПРОБЛЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ [ГЛ. 1
ставлениях (и тем самым содержательно определенное) и являющееся объектом утверждений, делаемых в теоремах нашей теории.
В формальной аксиоматике, напротив, основные отношения не считаются чем-то заранее содержательно определенным. Более того, именно в аксиомах теории они и находят свое неявное определение, так что во всех рассуждениях, проводимых в какой-либо аксиоматической теории, мы можем использовать лишь те сведения, касающиеся основных отношений теории, которые недвусмысленно сформулированы в ее аксиомах.
И если в рамках аксиоматической геометрии для обозначения ее основных отношений мы пользуемся именами, соответствующими геометрии наглядной,— такими, как «лежать на» и «между»,— то это является всего лишь уступкой привычке и делается нами для того, чтобы облегчить привязку аксиоматической теории к фактам восприятия. На самом же деле основные отношения в формальной аксиоматике играют роль переменных предикатов.
При этом здесь и в дальнейшем термин предикат мы всегда будем понимать в расширенном смысле, допуская к рассмотрению предикаты с двумя или несколькими субъектами. В зависимости от числа субъектов мы будем говорить об одноместных, двуместных,... и т. д. предикатах.
В рассмотренном нами фрагменте аксиоматической геометрии речь идет о двух переменных трехместных предикатах
R (х, у, z) и S (х, у, z).
Система аксиом накладывает на эти два предиката условие, выражаемое логической формулой ЭД (Л, 5), которая получается из ЭД (Gr, Zw) путем замены Gr (х, у, z) посредством R (х, у, z) и Zw (х, у, z) посредством S (х, у, z). В этой формуле наряду с переменными предикатами встречается также содержательно понимаемое нами отношение равенства х — у. То, что мы соглашаемся с его содержательной определенностью, не является прегрешением против точки зрения нашего подхода. Ведь содержательное определение равенства, вовсе и не являющегося отношением в собственном смысле этого слова, не заимствовано нами из специфического круга представлений, касающихся той области знания, которая подлежит аксиоматическому исследованию. Оно относится исключительно к возможности различения индивидов, которая должна всегда предполагаться имеющейся уже в самый момент введения индивидной области.
Таким образом, всякому предложению, имеющему вид ® (Gr, Zw), соответствует логическая по своему содержанию констатация того факта, что произвольные предикаты R (х, у, z) и S (х, у, z), удовлетворяющие условию ЭД (R, S), находятся также и в отношении @ (R, S) и что, следовательно, для любых

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика