Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

250 ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ С РАВЕНСТВОМ [ГЛ V.
3. Нормальная форма формулы расширенного одноместного исчисления предикатов на основе дедуктивного равенства. Теоремы о полноте, только что установленные нами для одноместного исчисления предикатов, могут быть распространены и на расширенное одноместное исчисление предикатов. Для формул этого исчисления также справедливо утверждение о том, что всякая формула, тождественная в конечном, может быть выведена по правилам этого формализма и что всякая формула либо выполнима в конечном, либо опровержима. Проблема разрешимости для этого формализма также полностью решается. Эти результаты вытекают из следующей теоремы:
Всякая формула расширенного одноместного исчисления предикатов дедуктивно равна некоторой другой формуле, которая либо сама является количественной формулой, либо оказывается составленной из количественных формул с помощью связок исчисления высказываний.
Эта теорема, сводящая теорию расширенного одноместного исчисления предикатов к всецело элементарным рассмотрениям, первоначально была найдена Лёвенгеймом, а затем более простым способом была доказана Сколемом. Независимо от исследований Лёвенгейма и Сколема к тому же самому результату пришел Беман г).
Доказательство следует методу, предложенному Неманом 2).
Мы будем существенным образом опираться на доказанную ранее теорему о разложении формулы расширенного одноместного исчисления предикатов в примарные формулы. Далее, мы будем пользоваться теоремой из гл. IV, которая говорит о том, что формула переходит в дедуктивно равную, если одну или несколько входящих в эту формулу свободных индивидных переменных заменить связанными переменными и поставить перед формулой соответствующие кванторы всеобщности, или если, наоборот, отбросить один или несколько стоящих перед этой формулой кванторов всеобщности, а соответствующие им переменные заменить ранее не встречавшимися свободными индивидными переменными 3).
Эту операцию перехода от свободных переменных к связанным и обратно мы будем кратко называть «заменой» (Austausch) свободных переменных связанными и соответственно связанных переменных свободными.
*) L 6 w e n h e i m L. Uber Moglichkeiten im Relativkalkul.—Math. Ann.. 1915, 76; S k о 1 e m T. Untersuchungen uber die Axiome des Klassen-kalkuls und uber Produktations- und Summationsprobleme, welche gewisse Klassen von Aussagen betreffon.— Videnskapsselskapets Skrifter I, Math.-Nat. Kl., 1919, № 3, § 4; В e h m a n n H. Beitrage zur Algebra der Logik, insbe-sondere zura Entscheidungsproblem.— Math. Ann., 1922, 86, № 3/4.
2) CM. §§ 20 и 21 только что цитированного сочинения Бемана.
3) См. гл. IV, с. 193.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика