Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

170 ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ [ГЛ. IV
нить на исчисление предикатов разрешающую процедуру исчисления высказываний, которая для любой формулы этого последнего позволяла выяснить вопрос о том, является эта формула тождественно истинной или же при некоторых значениях переменных она оказывается ложной.
При рассмотрении проблемы разрешимости мы должны отличать друг от друга различные постановки вопроса. В теоретико-множественной логике предикатов эта проблема может быть представлена в виде двух по существу равносильных, а по форме двойственных друг другу проблем: проблемы распознавания общезначимости и проблемы распознавания выполнимости формул. Вследствие уже упоминавшихся ранее соотношений, существующих между общезначимостью и выполнимостью, выяснение общезначимости какой-либо формулы ЭД равносильно выяснению выполнимости формулы ~Щ. Поэтому, если для некоторой совокупности формул В имеется метод для распознавания общезначимости этих формул, то он одновременно представляет собой и метод для распознавания выполнимости формул той совокупности, которую образуют отрицания формул из 5, и наоборот. В части нахождения и описания разрешающих процедур более наглядные результаты получаются при рассмотрении выполнимости формул.
С точки зрения теории доказательств место проблемы распознавания общезначимости формул занимает проблема распознавания их выводимости. Как общезначимости формул соответствует их выводимость, так выполнимости формул соответствует их неопровержимость.
Исследование вопроса о неопровержимости формул теснейшим образом связано с проблемой непротиворечивости систем аксиом. Именно, имеет место следующая
Теорема. Пусть задана некоторая система аксиом, которые с помощью наших логических символов, связанных индивидных переменных и вполне определенных предикатных и индивидных символов представлены в виде формул <$.1, . . ., ЭД{ без свободных переменных; допустим, что основные предикаты, представленные предикатными символами, охарактеризованы только посредством этих аксиом. Тогда непротиворечивость рассматриваемой системы аксиом (постольку, поскольку рассматриваются лишь обычные способы умозаключений, допускающие формализацию в рамках исчисления предикатов) совпадает с неопровержимостью той формулы, которая получается из
Я4 &•..&&!.
если вместо каждого из предикатных символов подставить некоторую новую формульную переменную с тем же самым числом аргументов, а на место индивидных символов подставить различные свободные индивидные переменные.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика