Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

160 ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ [ГЛ. IV
Таким образом, (Л + 1)-тождественные формулы представляют собой собственную часть совокупности f-тождественных формул.
Если какая-либо формула является ^-тождественной для любого числа !, то мы будем говорить, что она является тождественной в конечном.
Следует обратить внимание на то, что понятие формулы, тождественной в конечном, не дает нам в руки никакого критерия, с помощью которого мы могли бы для произвольной заданной формулы исчисления предикатов выяснить, является она тождественной в конечном или же нет.
Имеют место следующие утверждения:
Теорема 1. Всякая формула исчисления предикатов, выводимая в соответствии с нашими основными правилами, является тождественной в конечном.
Теорема 2. Совокупность f-тождественных формул является дедуктивно замкнутой в том смысле, что при добавлении к исходным формулам исчисления предикатов новых 1-тождествен-ных формул снова оказываются выводимыми только ^тождественные формулы 1).
Доказательство этих утверждений получается из рассмотрения системы наших основных правил путем установления следующих фактов:
а) Тождественные формулы исчисления высказываний, а также формулы (а) и (Ь) — т. е. все исходные формулы исчисления предикатов — являются тождественными в конечном.
б) Путем подстановки, в которой не участвуют предикатные и индивидные символы, из !-тождественной формулы получается снова !-тождественная.
в) Применение схем (а) и ф) к !-тождественным формулам снова дает формулы с тем же самым свойством.
г) Если обе формулы @ и @-> Z являются !-тождествен-ными, то % также является {-тождественной.
Следует обратить внимание на то, что утверждения б), в) и г), поскольку они верны для произвольного числа f, останутся верными и в том случае, если мы в них вместо !-тождественности будем говорить о тождественности в конечном.
В качестве специального следствия из теорем 1 и 2 вытекает, что с помощью наших основных правил невозможно вывести никакие две формулы St и~1 St, из которых одна является отрицанием
*) Эта теорема недавно получила существенное дополнение. Вайсберг (Wajsberg М. Untersuchungen iiber den Funktionenkalkul fur endliehe Individuenbereiche.— Math. Ann., 1933, 108, № 2) показал, что при добавлении к исходным формулам исчисления предикатов любой 1-тождественной, но не (I + 1)-тождественной формулы выводимыми оказываются уже все I-тождеетвенные формулы.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика