Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Математическая логика и основания математики
 
djvu / html
 

110 ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ [ГЛ. III
нельзя заместить формулами А -*- А и В-+-(А->-А). Формула 1 1)бу-дет невыводимой и в том случае, если к формулам I 2), 3), II — V добавить не только формулы А ->• А и В ->• (А ->• А), но, кроме того, еще и формулы А \/ 1 А, П (А & ~1 А), а также схему
91 -> ПШ тт «
— . Действительно, в этом случае выводимыми оказались I «I
бы лишь такие формулы, которые при рассматриваемой оценке принимают только значения ее и у.
Независимость формулы! 2) устанавливается с помощью оценки с тремя значениями а, р и у, впервые рассмотренной Лукасевичем. Для этой оценки дополнительные равенства имеют следующий вид:
а~ = , а —7 = 7, ~'V=='V' П7 = 7
(^4 & 5 и А \/ В вполне определяются уже при помощи основных равенств).
То, что эта оценка доставляет каждой из формул I 1), 3), II — — V значение а, легко усматривается из следующей арифметической интерпретации: ее, р и у суть соответственно числа О, 1 и
-х-', А-*- В при А^В представляет собой арифметическую раз-
LJ
ность В — А, а в противном случае А — >• В равно 0; А & В представляет собой наибольшее, а А V В — наименьшее из значений А т В; А ~ В есть абсолютная величина А — В; ~\ А равно 1 — А. Формула I 2):
(А -+(А-+ В)) -+(А^В)
принимает при этой оценке значение у, если положить А = у и В = р.
Точно так же устанавливается, что ни одна из формул
(А ->- (А -*. В)) -+• (А & А ->. В), A\J -\А, -1(А&~[А), (А-*--\А)->~1А
не является тождественно равной ее. Таким образом, эти формулы не выводимы из формул I 1), 3), II — V.
И наконец, чтобы доказать независимость формулы I 3), возьмем оценку с четырьмя значениями а, р, у, 6 и со следующими дополнительными определяющими равенствами:
-|7 = 6, Пб = Y,
далее, для А, В Ф р, А Ф В
А -». В = В;

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550


Математика