Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Элементарные методы в аналитической теории чисел
 
djvu / html
 

20 АДДИТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЧИСЕЛ [ГЛ. 1
Мы будем доказывать даже более общую теорему: пусть целые числа, ^ я и не принадлежащие А, обозначаются через #), ?2> •••> и пусть by<^n<^by+i] ax^n<^ax^. Положим
Очевидно, Е^О, ибо
Р Как оказывается, существует не менее x-\-j- чисел ^п
вида а -|- Ъ, где а^Л; Ь(^В, причем нам нужно будет использовать лишь числа # = 0 и еще одно Ь?В.
Сперва докажем лемму.
Лемма. Существует целое 1^>0 такое, что есть
по крайней мере — чисел Ь^ среди чисел ^ п вида at -\- 1,
as + /,...
Доказательство. Число решений уравнения
a-\-v= Ь
в целых положительных v, a, b^.n, есть Е. Именно, для заданного b = br есть Ъг — г решений, ибо число чисел а<^Ьг есть Ьг — г, и каждое а дает решение t>. Суммируя по г= = 1, 2, ...,у, находим, что полное число решений есть
Но число возможных значений v не превосходит п, и найдется хотя бы одно значение v, скажем /, для которого есть не
? менее — решений уравнения a-\-I=b; a, b^n.
Перейдем к доказательству теоремы. Так как В есть базис /-го порядка, то
Обозначим (А4 количество чисел Ь в множестве а -)- b(s> (s=l, 2,..., /). Покажем, что

В самом деле, в множестве чисел вида

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика