Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Элементарные методы в аналитической теории чисел
 
djvu / html
 

190 СЧЕТ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК В КОНТУРАХ [гл- 8
С начала нынешнего века, исследования многих математиков, начиная с Г. Ф. Вороного [6] и И. Серпинского [49], были направлены на отыскание «точных оценок» погрешностей p(R) в формуле (8,1,4) и р(и) в формуле (8,1,9). Под этим понимаем следующее.
Пусть в формуле (8,1,4)^—* со. Имеем: p(R)=0(R). Могут существовать и (как мы увидим) в действительности существуют такие положительные а, что а <^ 1, и р (R) = О (R*). Нижнюю грань таких чисел назовем <хс. Тогда для любого ? ^> 0 имеем
р (Я) = ?еЯ«о 4- • (для всех R).
В то же время соотношение
BtR"o-' (для всех R)
неверно ни для какого е
Число «0 и называется точным порядком погрешности в формуле (8,1,4). Аналогично вводится точный порядок погрешности в формуле (8,1,9). Отыскание таких точных порядков называется соответственно проблемой круга и проблемой делителей.
В 1914 г. Г. Гарди [39] доказал, что для проблемы круга,
1 2 ав^-к-- В работах В. Ярника [40] доказано, что ав<^-5-,
однако проблема круга и проблема делителей остаются нерешенными и по сие время.
В 1917 г. И. М. Виноградов [1] предложил элементарный метод для счета целых точек в контурах общего вида, который будет здесь изложен. Для проблемы круга он дает:
2 1 а0 ^ -5- , для проблемы делителей: а0 ^ -^ ,
о о
§ 2. Формулировка теоремы И. М. Виноградова *
Мы будем рассматривать число целых точек внутри и на контуре трапеции с криволинейным верхом у=/(х), где У^О — неубывающая функция, так что_у"^>0; пусть от Р до Q имеют место неравенства asg;y<^j3 (рис. 5). Если мы будем подобным образом увеличивать кривую, то длина PQ и все ординаты увеличатся в одинаковое число п раз; у'

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика