Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Элементарные методы в аналитической теории чисел
 
djvu / html
 

10 АДДИТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЧИСЕЛ [гЛ. 1
ваться один и только один раз и упорядочиваться по возрастанию.
Аддитивная теория числа изучает свойства операции суммирования последовательностей; в частности описывает числа, получившиеся в результате суммирования последовательностей. При этом выделяются случаи, когда в результате суммирования ограниченного числа последовательностей, получаются все целые числа или все достаточно большие целые числа.
Если последовательность А после суммирования самой с собой k раз дает все целые числа, то она называется базисом k-ro порядка. (Разумеется, она будет тогда и базисом порядка &1^>?.) В элементарной теории чисел известна теорема Лагранжа о том, что всякое число есть сумма четырех квадратов. Таким образом, последовательность квадратов Q есть базис 4-го порядка. Последовательность кубов образует базис 9-го порядка (что уже трудно обосновать элементарными методами).
Иногда рассматривают базисные свойства последовательностей, принимая во внимание не все числа, а лишь достаточно большие числа. Если последовательность А после суммирования k раз дает последовательность, куда входят все достаточно большие числа, то будем называть ее базисом k-ro порядка для достаточно больших чисел. Такое понятие целесообразно, так как во многих случаях основные свойства сумм последовательностей вскрываются при наблюдениях над большими числами; на структуру малых ее членов будут, естественно, влиять лишь несколько начальных членов последовательности.
Согласно известной теореме И. М. Виноградова [1], суммирование последовательности Р простых чисел (со включением 0) три раза образует последовательность Р-\-P-\-P, куда входят все достаточно большие нечетные числа. Таким образом, последовательность Р образует базис 4-го порядка для достаточно больших чисел. Последовательность кубов, которую мы рассматривали ранее, образует базис 7-го порядка для достаточно больших чисел ([13], [14]). В 1930 г. Л. Г. Шнирельман [30] поставил проблему изучения суммирования последовательностей общего вида, сведения о которых касаются лишь «плотности» расположения в них членов. Понятие «плотности» последовательности А определяется по Л. Г. Шнирельману следующим образом.

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика