Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах
 
djvu / html
 

Из последнего равенства видно, что а„ делится на а без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей ай, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, —1, 2 и —2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения
только — 1 является корнем. Следовательно, это уравнение имеет единственный целый корень х= — 1. Тем же методом легко показать, что уравнение
в целых числах неразрешимо.
Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнений со многими неизвестными.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными
=0, (3)
где а и b — целые числа, отличные от нуля, а с — произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты а и "Ь не имеют общих делителей кроме единицы *). Действительно, если общий наибольший делитель этих коэффициентов d~(a, b) отличен от единицы, то справедливы равенства a=aLd, b — b^d; уравнение (3) принимает вид
(atx + b1y)d + с=0
и может иметь целые решения только в том случае, когда с делится на d. Таким образом, в случае (a,b) = d=f=\ все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на d, и, сокращая (3) на d, придём к
*) Такие числа о и & называют взаимно простыми; обозначая-через (а, Ь) общий наибольший делитель чисел а и Ь, для взаимно простых чисел получим (а, 6) —1,

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60


Математика