Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах
 
djvu / html
 

Пользуясь формулами (19') § 3, дающими все целые положительные решения (108), мы видим, что существуют такие целые положительные а и b, (а, Ь)—1, а нечётно, которые удовлетворяют равенствам
4=±(а2-2&2), yl=2ab, z0 = a2 + 2b2. (109)
Из равенства yl=2ab следует, что 6 само должно быть четно, так как у0 четно, yl делится на 4, а а не-
т- Ь
четно. 1ак как -=- и а взаимно просты, то из равенства
непосредственно следует, что
где т и « — целые положительные и (т,2п}=\. Но из (109) следует
(НО)
где х0 и а нечётны. Мы уже видели, что квадрат нечётного числа при делении на 4 даёт в остатке 1. Поэтому левая часть (110) при делении на 4 даёт в остатке 1,
а а2 — 8 (-у) тоже даёт в остатке 1 при делении на 4.
Значит, в равенстве (ПО) скобка в правой части может входить только с плюсом. Теперь равенство (НО) можно записать уже в форме
Хо=т*-8п* или в форме
4+2(2я2)2 = (т2)2, (111)
где х,., п и т — целые положительные и взаимно простые числа. Значит, числа х0, 2л2, тг образуют решение уравнения (108), причём х0, 2п2 и т2 взаимно просты. Поэтому опять в силу формул (19') § 3 найдутся такие целые числа р и q, р нечётно, (р, q) = l, что
(112) Но так как (р, д)=\ и nz = pq, то
60

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62


Математика