Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах
 
djvu / html
 

числа а. Если бы мы могли утверждать, что k=l, то мы бы уже доказали, что уравнение (51) имеет бесчисленное множество решений в целых числах. Так как мы этого утверждать не можем, то допустим, что &>_! (в противном случае, когда k=l, всё уже доказано), и перейдём ко второму шагу нашего доказательства. Докажем теперь, что среди пар целых чисел [ult ог], ..., [un,vn],... будет бесконечно много пар чисел, дающих одни и те же остатки при делении на число k, — другими словами, что существуют такие два целых неотрицательных числа р и q, меньших k, что для бесчисленного множества пар [«!, Vj], . . . , [ип, vn], . . . будут иметь место равенства
un=ank + p, vn = bnk + g, (60)
где ап и Ьп — частные от деления и„ и vn на k, a p и q~ остатки. Действительно, если мы разделим и„ и vn на целое число k, k^>\, томы получим соотношения вида (60), где остатки от деления будут, как всегда, находиться между нулём и k — 1, Так как остатками от деления чисел «„ на k могут быть только числа О, 1, 2, ,.., k—l и, совершенно так же, остатками от деления чисел vn на k могут быть тоже только эти же числа О, 1, 2, ...,&—!, то число возможных пар остатков при делении чисел ип и vn на k будет k-k = k*. Это ясно также из того, что каждой паре [и„, vn] соответствует пара остатков [р„, д„], причём р„ и д„, каждый в отдельности, не могут принимать более k различных значений, а число пар поэтому будет не более k2. Итак, каждой паре целых чисел [un, vn] соответствует пара остатков [рп, д„] при делении на k. Но число различных пар остатков конечно, не превышает k1, а число пар [un, vn] бесконечно. Значит, так как в ряду пар [plt q^}, [Pz> <7з1> •••> [Рп< <7«1> ••• имеется лишь конечное число различных пар, то хотя бы одна iiapa повторяется бесчисленное множество раз. Обозначая эту пару остатков [р, q], мы и получаем, что существует бесчисленное множество пар [un, vn], для которых имеют место равенства (60). Так как не все пары [un, vn] удовлетворяют равенствам (60) при некоторых определённых pug, существование которых мы сейчас доказали, то мы снова перенумеровываем все те пары [un, vn], которые удовлетворяют равенствам (60), и будем эти пары обозначать [Rn, Sn]. Итак, бесконечная последовательность пар [Rlt Sj,
40

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60


Математика