Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах
 
djvu / html
 

которое давало бы двучлену х-\-\/2у значение, не большее, чем 3 + 2 |/ 2 . Действительно, следующее по величине решение уравнения (26) будет х=17, г/=12, и ясно, что 17 +12 1/2 больше чем 3-|-2V/2~. Заметим также, что не существует двух наименьших решений уравнения (29). Допустим обратное, т. е. что есть решения [л^, уг] и [х2, г/2]. которые дают одно и то же значение двучлену А у. Тогда
1 = х, + ]/Ауг. (31)
Но |/Л — иррациональное число, а я,, z/t, д:2, г/2 — ДелЬ1е числа. Значит, как это непосредственно следует из равенства (31),
что невозможно, так как xl — x2 — целое число, (г/, — г/]) V А как произведение целого числа на иррациональное будет иррациональным, а целое число не может быть числом иррациональным. Противоречие это пропадает, если xl=-x2 и г/1 = г/2> — другими словами, когда мы бзрём не два различных решения, а одно. Итак, если существует наименьшее решение, то только одно. Заметим теперь ещё одно очень важное свойство решений уравнения (29). Пусть [XL, У!\ будет решением уравнения (29). Тогда
х\~Ау\=1 или
(xl + V~Ayl)(x,-V^y1}^\. (32)
Возведём теперь обе части равенства (32) в целую положительную степень п:
(х, + 1/Л у,)" (Xl -VAyJ» = l. (33)
Осуществляя возведение в степень по правилу степени бянома, мы получаем:
(*! + У'А yja = xt + пхГ
+ "(»-П хГ2Ау! + . . . + (у~Ау уЧ = Хп + у~Ауп, (34) 30

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60


Математика