Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах
 
djvu / html
 

Обозначим через d± общий наибольший делитель выражений г + у и г — у. Тогда
z + y=adlt z~y=bd-L, (14)
где а и b взаимно просты.
Подставляя в (13) значения z + y и z — у, яолучим:
Так как числа а и b не имеют общих делителей, то полученное равенство возможно только в том случае, когда а и b будут полными квадратами *):
а = и\ b = v*. Но тогда
x=uvdl. (15)
Найдём теперь у и г из равенств (14). Сложение этих равенств даёт:
it z=-^^-d1. (16)
Вычитая второе из равенств (14) из первого, получим: 2y=ad1-bdl = u2d1 — v41; у= u*~v* dv (17)
В силу нечётности х из (15) получаем, что и, v и dl также нечётны. Более того, dl—\, так как иначе из равенств
И2 _ у2
x=uvd1 и у — - - ^i
следовало бы, что величины х и у имеют общий делитель di =j= 1, что противоречит предположению об их взаимной простоте. Числа и и v связаны со взаимно простыми числами а и b равенствами
и в силу этого сами взаимно просты; v<^u, так как а, что ясно из равенств (14).
*) Известно, что произведение двух в?аимно простых чисел может быть полным квадратом только тогда, когда каждый сомножитель — полный квадрат.
20

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60


Математика