Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

90 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
тывается на одну и с точностью до движения только одну плоскую полосу. Для плоской же полосы а = Ь = 0 величина с (s) представляет собой не что иное, как кривизну кривой, получившейся в результате развертывания полосы. Этим устанавливается новая интерпретация инварианта изгибания с. Мы будем называть величину с — геодезической •кривизной (ср. § 34).
Все вышеизложенное безусловно справедливо лишь для незамкнутых полос и относится к достаточно малым полосам; если же мы возьмем замкнутую полосу, то ее не всегда можно будет целиком развернуть на плоскость. Это очевидно уже для того простейшего- случая, когда мы имеем полосу, прилежащую к основанию прямого кругового цилиндра. Здесь мы сталкиваемся с теми трудностями, которые присущи „диференциальной геометрии в целом" (ср. задачу 4 § 40).
Для геодезических полос мы можем теперь установить новое •отличительное свойство: их кривизна изгибания равна нулю, т. е. их кривые после развертывания становятся прямыми линиями.
Формула (35) дает нам новую интерпретацию величины д; если мы
лоложим в этой формуле <р = •«- , то она даст с = Ь, и получаем следу-
шее предложение: инвариант полосы — Ь есть попросту геодезическая кривизна полосы, которая проходит через ту же кривую и получается из исходной полосы поворотом всех ее элементов на прямой угол.
§ 38. Параллелизм Леви-Чивита
Пусть вектор k выходит из точки х, принадлежащей полосе и соответствующей значению s параметра; если этот вектор лежит ® касательной плоскости полосы, то его можно представить линейно через векторы х' и ij:
k = flx' + P4- (42)
Представим себе, что из каждой точки кривой нашей полосы исходит такой вектор k. Тогда мы будем иметь семейство векторов k (s), которое <>удет согласно формуле (42) определяться двумя функциями a(s) и P(s). Будем теперь изгибать нашу полосу, захватывая и векторы k, и притом так, чтобы длины их jAn2-}-?2 и углы, образуемые ими с кри-

вой, а значит и величина , оставались все время неизменными.
Это эквивалентно условию, чтобы компоненты аир (42) оставались •одними и теми же при всех изменениях векторов х' и ij. Мы скажем, •что введенные нами векторы связаны с полосой инвариантно относительно изгибания.
Если мы сдвинем вектор k, выходящий из некоторой точки полосы, так, чтобы начало его попало в новую точку полосы, а вектор остался параллельным самому себе, то, вообще говоря, вектор уже не будет в новом положении принадлежать соответствующему элементу полосы; •он выйдет из полосы в окружающее ее пространство. Таким образом, вообще говоря, нельзя передвигать на полосе вектор параллельно самому себе, если параллелизм понимать в обычном смысле слова. Вместо этого параллелизма мы введем другой закон смещения вектора вдоль полосы;

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика