Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

SO ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
л с меняет свой знак при подстановке .s = — s*. Но и а можно считать абсолютным инвариантом, если предварительно установить направление движения, дающее положительную дугу s. Величины а и b относительно функций { х (Y), \ (t) } при произвольном параметре t зависят от производных первого порядка; величина же с — от производных второго порядка. Аналогично, тому, как мы сделали это в § 16, можно и здесь показать, что заданием функций a(s), b(s) и c(s) полоса определяется однозначно с точностью до движений (ср. задачу 1 § 40).
§ 34. Геометрический смысл инвариантов поверхностной полосы
Согласно формуле (33) § 7 и формуле (7) этой главы кривизна кривой, вдоль которой взята полоса, выражается формулой:
(П) Далее главная нормаль этой кривой представляется единичным вектором
Если мы определим еще единичный вектор бинормали §3 = х' X §я нашей кривой, то сопутствующий триедр ее представится следующим образом
Из (12) мы получаем следующие формулы для определения углов «PJ и <ра, образованных вектором главной нормали с векторами § и tj: (
_ j, c
cos Т1 уь* -{-с2 1^*2 + с* v ' v '
Подставляя в знаменатель (14) его выражение из (1 1), мы получим:
-cos4Y= — *, ycos'fa = c. ^ (15)
Из этих формул мы видим, что с и b суть кривизны кривых, получающихся проектированием кривой, вдоль которой взята полоса на касательную и нормальную плоскости полосы; нормальной плоскостью мы называем ту проходящую через точку нашей кривой плоскость, которая проходит через х' и | ]. Поэтому с называют тангенциальной кривиз-
1 Ввиду недостаточной очевидности этого предложения поясним его следующими соображениями. В общем случае, когда кривая x(s) проектируется на плоскость, перпендикулярную к вектору е, мы для проекции ее JL(S) имеем следующее выражение:
х = х — (хе)е.
Диференцируя его дважды по параметру s, мы получаем:
x' = g?-(S, е)е,
х*= 1[52-(g2, е)е].

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика