Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

70 ЭКСТРЕМУМЫ КРИВЫХ
показать, что знак равенства в формуле (45) имеет место только для случая круга.
Раз квадратный полином Рр имеет равный нулю дискриминант ?9 — 4icF, то Fp не может менять знака. А так как при р = 0 величина Fp положительна, то при р = — г она не может быть отрицательна. Следовательно, в формуле (43) интеграл должен ^равняться нулю, т. е. должно
иметь место соотношение — = г = const. Если одна сторона треугольника D будет изменяться, то для определенных направлений (а именно, для тех касательных, концы которых лежат на какой-нибудь другой
стороне треугольника) отношение -ту, а значит и г, будет оставаться
неизменным. Таким образом все описанные вокруг овала Е треугольники будут иметь один и тот же радиус вписанного круга. Отсюда следует тотчас же, что Е есть крут. В самом деле, если мы зафиксируем две касательных, то описанный круг будет также фиксирован, и третья касательная будет огибать этот круг.
Приведенное здесь доказательство в той его форме, в какой оно дано нами, предполагает, что овалы Е, выбираемые в качестве линий сравнения, не имеют угловых точек.и прямолинейных кусков. Однако нетрудно распространить это доказательство и на овалы произвольного вида 1.
§ 30. Доказательство Гурвица
В дальнейшем нам придется применять теорему об изопериметрии круга в таких случаях, когда относительно кривых сравнения должны быть допущены довольно общие предположения. Поэтому мы укажем здесь еще одно аналитическое доказательство, при котором используются некоторые предложения из теории тригонометрических рядов и которое дает необходимую нам общность результата. Пусть
x1==xl(s), x2 — x.2(s), 0 некоторая непрерывная замкнутая кривая, о которой мы должны допустить только то, что она спрямляема, т. е. имеет длину дуги s. Очевидно, что xl(s) и xz(s) удовлетворяют условию Липщица:
с константой, равной 1. Отсюда следует, что они имеют почти всюду производныех\(s) и x'3(s):
Кроме того почти всюду имеет места соотношение 2:
V^T1 -т-1-3-1 =1-
1 Подробное доказательство дано Либманом (И. ЦеЪтапп, Math. Zeitschrift, т. 4, стр. 288—294, 1919).
2 См., например, Лебег, Интегрирование и отыскание примитивных функций

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика