Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

60 ТЕОРИЯ КРИВЫХ
отрезки длины i(P = — 1), то концы бинормалей расположатся на изотропной кривой. Длину дуги исходной кривой можно положить равной соответствующему значению натурального параметра р изотропной кривой. Е. Study. Am. J. Math., т. 32, стр. 264—278, 1910.
16. Изотропная кривая как геометрическое место центров кривизны. Центры кривизны пространственной кривой, лежащей на изотропном конусе, располагаются на некоторой изотропной кривой. Обратно, если задана изотропная кривая, то можно найти кривую, лежащую на некотором изотропном конусе, для которой первая кривая будет геометрическим местом центров кривизны. ?. Study, Am. J. т. 32, стр. 257—263, 1910.
17. Инвариант изотропной кривой. Приняв за параметр кривой натураль: ный параметр р, мы можем вместо формул Френе написать следующее соотношение:
(184)
Здесь Р(р) есть диференциальный инвариант нашей кривой наинизшего порядка, именно:
085)
В правой части стоят производные той функции /, которой мы пользовались в § 23. Ср. ?. Study. Am. Trans., т. 10, стр. 1—49, 1909.
Приведем теперь некоторые результаты, относящиеся к кривым „в целом".
18. Кривые постоянной ширины. Если расстояние между двумя параллельными друг другу касательными овала сохраняет постоянную величину Ь, то длина овала равна icft. Е. Barbier, Llouvilles J. (2), т. 5, стр. 273—286, 1860.
19. Теорема Бервальда (L. Berwald) об овалах. Каждый овал имеет по меньшей мере четыре такие точки, в которых логарифмическая спираль имеет с овалом пятикратное касание. На эллипсе эти точки являются концами сопряженных диаметров, симметричных относительно осей.
20. О вершинах овала. Если овал пересекается с кругом в 2я точках, то он имеет по меньшей мере In вершин. W. Blaschke. Kreis und Kugel, стр. 161, Leipzig 1916.
21. Овалы, имеющие лишь четыре вершины, пересекаются с кругом самое большее в четырех точках.
22. Формулы Крофтона (Crofton). Пусть Е есть некоторый овал; (xl% дг2) внешняя по отношению к нему точка; L — длина овала; /а, /2 — длины касательных, проведенных к овалу из точки (xlt хг); рг, Р2, — радиусы кривизны Е в соответствующих точках касания, а о — угол между этими касательными. Тогда имеют место формулы:
"^ dx^ dx» (186)
в которых интегралы взяты по области, внешней по отношению к овалу Е. М. W. Crofton, Phil. .Trans., т. 158, 1868; Н. Lebesgue, Nouv. Ann. (4), т. 12, стр. 495, 1912.
23. Теорема Якоби. Сферическая индикатриса главных нормалей замкнутой кривой разделяет поверхность сферы на две равновеликие части.
24. О замкнутых кривых. Пусть замкнутая правильная пространственная кривая, не имеющая кратных точек, обладает тем свойством, что через каждую ее точку можно провести плоскость, не встречающую больше кривую ни разу. Тогда кривая имеет по меньшей мере четыре точки со стационарными соприкасающимися плоскостями (С. Caratheodory).
25. О замкнутых сферических кривых. Пусть на поверхности сферы расположена замкнутая, всюду правильная и не имеющая кратных точек кривая. Пусть не более чел две соприкасающиеся плоскости этой кривой проходят через центр сферы. Тогда кривая лежит целиком на одном полушарии сферы.
В заключение укажем, что мы возвратимся еще (в гл. 3 и 9) к теории пространственных кривых, подойдя к ней с более общей точки зрения.

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика