Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

320 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
рианта k. В этом случае развертывающиеся поверхности конгруенции огибают семейство асимптотических линий фокальной поверхности. См., например, G. Koenigs, These 1882, или G. Sannia, Math. Ann., т. 68, стр. 414, 1910.
7. Плотность конгруенции (Куммер). Через точку х одного из лучей конгруенции проведем элемент поверхности do, перпендикулярный к этому лучу. Пусть сферическое изображение всех лучей конгруенции, проходящих через do, заполняет элемент поверхности d 1
называют плотностью конгруенции в точке х. Соотношение (185) связывает плотность с инвариантом k (§ 123), причем р есть расстояние от точки х до 'центра луча (§ 125), на котором она лежит. Е. Cummer, Crelles J., т. 57, стр. 189 — 230, I860, особенно стр. 208 и след. Наметим кратко ход вычислений. Точку х, лежащую на луче А, можно представить выражением а -|- га; для элемента поверхности мы найдем выражение:
do = ((a_t- гл)ш (а_+ /»)„, a) du do = (а„ + r&w a, + гл„ a) du do. (186)
Разделив на соответствующий элемент dm сферической поверхности и произведя преобразования, мы найдем:
do (a,a,a)
<187>
8. Дивергенция конгруенции. Если мы представим себе, что в каждой точке каждого луча (а, а) конгруеиции построен единичный вектор а, то этим мы определим векторное поле. Дивергенцией векторного поля ak(x1xisxB) называется выражение:
даа
Для дивергенции только что определенного поля мы найдем величину:
*-Ь, (188)
где через ? и р обозначены те же величины, что в предшествующей задаче.
9. Полная кривизна конгруенции. Применить интегральную формулу (101) § 124:
! f
к линейчатым поверхностям, имеющим ребра. .
10. Синектические коигруенции. По аналогии с аналитическими функциями комплексного переменного можно определить синектические функции дуального переменного. Мы найдем:
/(« + et/)=/(«) + st-/'(a). (189)
Если задать дуальный единичный вектор в виде такой функции:
и), (190)
то этим будет определена некоторая цилиндрическая конгруенция, которую, следуя Штуди, называют синектической. Показать, что эта конгруенция образована нормалями развертывающейся поверхности. Е. Study, Geometric der Dynamen, стр. 305 и след.
II. Об изотропных поверхностях. По данной минимальной поверхности
-~й

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330


Математика