Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

300
ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
где
1 ( l i M i eg — "iff +ge
2 V <*i ' 4 ' 4 1 eg- Л
h~ d,a, 4 eg-f*
(84) (85)
Знаменатели этих выражений отличны от нуля, если, как мы это и предположили, наша конгруенция не является цилиндрической. Формулы (82) по исключении из них d дают для главных направлений du : dv уравнение:
е du -4-/ dv e du-4-f dv I
_ _ [=0. (86)
fdu-\-gdv fdu-\-gdv\
Так как диференциальная форма I является знакопостоянной и положительной, то линейчатые поверхности, удовлетворяющие условию (86), всегда вещественны. Эти' поверхности соответствуют линиям кривизны; их называют главными поверхностями.
Из формулы (86) вытекает, что, если мы пока оставим в стороне случай линейной зависимости диференциальных форм I и II (мы рассмотрим его в § 127), то, приняв главные поверхности за параметрические (« = const., v = const.), мы будем иметь:/= 0 и / = 0.
Посмотрим, каким упрощениям подвергаются при этом формулы (79) и (80).. Мы будем теперь иметь:
=___L / _fL _?^ 4. JL JB_\
2w \ dv w ' du w ]
r__ 1 (д. 2/г gB — g „ .___d_ 1h gu — ~gu\
w \ dv w ' ~du w /'
где для сокращения положено:
(87)
(88)
(89)
Деривационные формулы, аналогичные формулам (136) и (137) § 57, будут теперь иметь вид:
р
*-"п * rj *
А,.и =
••*•««« ~~~"
А

+ *-« Л I Utt A Ц-Ам+-2ё Ае,
^»+-Й-Ая-

(90)
Единственными условиями интегрируемости системы (90) будут в этом случае уравнения (87) и (88). В § 129 мы представим эти основные уравнения теории конгруенций прямых в инвариантной форме.
Диференциальное уравнение
~ 0 • (91)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 320 330


Математика