Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

ТЕОРИЯ КРИВЫХ
линии x(s) в данной ее точке. Обычно кривизна обозначается через — . Таким образом мы имеем:
1 . =: — р gL.V?1'.
Знак перед корнем можно выбрать по произволу.
1
(33)
есть, таким
образом, длина вектора ускорения, а рх" есть единичный вектор главной нормали, если только х" не равно нулю, что мы условились здесь предполагать.
Нормаль к кривой, перпендикулярную к соприкасающейся плоскости, называют бинормалью. Направлением ее служит направление х' X х"» ибо это векторное произведение перпендикулярно к х' и х".
Введем теперь в каждой точке кривой x(s) три единичных вектора:
1) тангенциальный вектор:
x'(s) = 51(s), (34)
2) единичный вектор главной нормали:
px"(s) = pg;(e) = ga(s) ^ (35)
и 3) единичный вектор бинормали f3(s)- Мы определим его формулой:
l8 = 5iXS2 = p(x'xx"). (36)
Согласно определению вектор §3 перпендикулярен к векторам §,, |2; сверх того, |3 есть единичный вектор, ибо согласно тождествам Лагранжа [§ 2, (2о)] и в силу |,§а = 0 мы имеем:
g,8 = g&-«ib)a=l. (37)
Наконец векторы |„ |а, |*8 согласно сказанному в конце § 2 последовательно расположены так же, как и три единичных вектора на координатных осях, ибо
(115213)=(§1Х52)5з=§: = +1- (38)
Из §! X la ?= 5s и согласно § 2, (29), для наших трех единичных векторов имеют место также соотношения §2 X is = Si и 5з X 5i = ia-
При определении кривизны мы отложили от начала векторы 5, (s) и вычислили длину дуги ds1 сферической индикатрисы касательных. Точно таким же образом мы теперь определим кручение. От начала координат мы будем откладывать единичные векторы бинормали §s(s). Концы этих векторов определяют сферическую индикатрису бинормалей кривой x(s); отношение элементов дуг
(39)
мы и назовем кручением. Для плоской кривой мы имеем |8 — -Следовательно, кручение плоской кривой равно нулю. Таким образом кручение есть мера уклонения нашей кривой x(s) от ее соприкасающейся плоскости.

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика