Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

270 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
будет меньше, чем площадь исходной. Если поэтому основная изо-периметрическая задача пространственной геометрии вообще имеет решение относительно правильных овальных поверхностей, то такое решение может давать только сфера.
Такова идея штейнерова доказательства (1836) 1.
§ 115. Доказательство сходимости (Вильгельм Гросс)
Если считать само собой разумеющимся, что наша изопериметриче-ская задача имеет некоторое решение, то результат предшествующего параграфа вполне исчерпывает поставленный вопрос. Но если мы пожелаем не отнестись к этой трудности так легкомысленно, как мы это делали прежде в аналогичных случаях (§ 97, 112), то самая трудная часть пути остается еще не пройденной.
Перрон (О. Perron) показал необходимость доказательств существования на примере, хотя и тривиальном, но тем более убедительном: если среди чисел 1, 2, 3... существует наибольшее, то им является число единица, ибо после возведения в квадрат каждое иное число увеличилось бы. Этот метод умозаключения в точности воспроизводит только что изложенное доказательство. Роль чисел 1, 2, 3... играло там бесконечное множество равнообъемных овальных поверхностей, а роль возведения в квадрат — процесс симметризации.
Первым, кто безупречно обосновал вывод основного изопериметри-ческого свойства сферы с помощью «методов, введенных • Вейерштрассом в вариационное исчисление, был Шварц (1884) 2. Новый метод доказательства, о котором мы будем говорить во второй части этого курса, был дан в 1903 г. Минковским. В 1916 г. автор этой книги провел строгое доказательство, основывающееся на процессе симметризации Штейнера8. Та же идея в новой, чрезвычайно изящной форме, была использована в 1917 г. Вильгельмом Гроссом4, скончавшимся от гриппа в Вене в 1918 г., в возрасте 32 лет. Доказательство Гросса мы изложим, ограничиваясь, однако, случаем овальных поверхностей.
Идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что каждая овальная поверхность F может быть с помощью достаточно продолжительного применения процесса симметризации преобразована в новую овальную поверхность F* того же объема, поверхность которой сколь угодно мало отличается от поверхности Ок равнообъемной сферы К. Если мы докажем это предложение, то тогда в рилу результата § 114 мы будем иметь для поверхностей следующие соотношения:
0>0Я, Игл Ой=0к
1 J. Sleiner, Einfache Beweise der Isoperiraetrischen Hauptsatze, Werke II, стр. 75—91.
s H. A. Schwarz, Beweis des Satres, das die Kugel kleinere Oberflache besitzt als jeder andere KOrpei gleichen Volumens, Oesamroelte Abhandlungen II, стр. 327-340.
3 W. Blaschke, Kreiss und Kugel, Leipzig 1916.
4 W. Gross, Die Minimaieigenschaften der Kugel, Monatsh. Math. Phys., т. 28, стр. 77-97, 1917.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 290 300 310 320 330


Математика