Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

260 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В § 50 мы получили соотношение:
/П — 2//II -f III = О, и, следовательно, в настоящем случае, при Н = 0 мы имеем;
Таким образом для меры кривизны нашей минимальной поверхности мы получаем выражение:
(17)
Если мы примем во внимание, что уравнение II = 0 есть диференциаль-ное уравнение асимптотических линий, то увидим, что и, v = const, или p±q = const, суть уравнения' асимптотических линий нашей поверхности. Если же мы введем в качестве параметрических линий кривые а, р == const., то в формах I и II будет отсутствовать смешанный член, следовательно, эти кривые р rt iqn= const, в силу § 46 (F = О, М = 0) являются линиями кривизны нашей поверхности. Таким образом, как только определены натуральные параметры р и q, вместе с тем одновременно определяются как линии кривизны, так и асимптотические линии.
Формулы этой главы были даны Штуди в его лекции, прочитанной в 1909 г., и затем в новой обработке даны в его работе по теории минимальных поверхностей 1.
Если мы введем, как в § 56, расстояние Р касательной плоскости от начала координат как положительную однородную функцию (ненормированного) вектора нормали поверхности, то согласно формуле (35) § 94 диференциальное уравнение минимальных поверхностей примет вид:

Отсюда следует, что теория минимальных поверхностей теснейшим образом связана с теорией сферических функций. Здесь, однако, мы не будем касаться этого вопроса.
§ 109. Общая формула Гаусса для первой вариации площади
поверхности
В § 105 мы получили уже формулу для 80. Теперь мы выведем ее снова в более общем предположении, что смещение Зх точки поверхности происходит в произвольном направлении. Мы можем взять за параметрические кривые, например, линии кривизны исходной поверхности; тогда деривационные уравнения (131) и (132) § 57 будут иметь вид:
р р
v — _?и~ __ ?» А»и 2Е * 1Q
х»ч === 2? *" ' ~2 ** '
1 Ср. указания в конце работы Е. Study, Ober einige Imaglitfre Mlnlmalfla-chen, Leipzig Acad. — Вег., т. 63, стр. 14—26,1911.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 280 290 300 310 320 330


Математика