Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

250
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
вающийся отрезок. Отличный от а конец одного из таких отрезков должен служить острием огибающей геодезических линий, проходящих через а, поскольку эту огибающую можно рассматривать как геометрическое место ближайших к а сопряженных точек. Мы получим таким образом обращенное к точке а острие огибающей (черт. 29), которое согласно предложению § 78 соответствует наименьшей величине геодезического расстояния аа'. В силу непрерывности должны существовать по меньшей мере две наибольшие величины расстояния аа', которые соответствуют остриям, обращенным в противоположную от а сторону. Таким образом безусловно существуют по меньшей мере
четыре острия, если геометрическое место тайки а' не вырождается в одну единственную точку.
Кажущиеся исключения могут возникнуть лишь в том случае, если при вращении геодезической дууи вокруг точки а точка а' пробегает огибающую
Черт. 28.
Черт. 29.
более, чем один раз. Но тогда нужно считать каждое острие за несколько, соответственно его кратности.
Таким образом мы доказали следующее предложение, с которым автор ознакомился благодаря сообщению Каратеодори (1912): геометрическое место точек овальной поверхности, сопряженных с данной точкой, имеет по крайней мере четыре острия.
В том, что действительно существуют подобные огибающие, имеющие в точности четыре острия, мы можем убедиться на примере эллипсоида.
Это доказательство мВжет быть распространено на случай любой положительно определенной вариационной задачи на сфере, если индикатрисы (§ 98) являются выпуклыми кривыми.
§ 104. Задачи и теоремы
1. Отличительное свойство овальных поверхностей. Замкнутая двусторонняя поверхность, имеющая всюду положительную меру кривизны, необходимо является овальной поверхностью. J. Hadamard, Liouvilles J. (5), т. 3, .стр. 352, 1897.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика