Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

240 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ в ЦЕЛОМ
( Поэтому нам нужно выбрать геодезический радиус 2R > 0 таким образом, чтобы все круги {а, 2/?} на нашей овэльной поверхности F >были простыми при произвольном выборе центра а. Этого можно достигнуть таким, например, образом. Допустим, что круг (а, пВ} не •является простым. Тогда мы, оставляя неизменным центр а, уменьшаем геодезический радиус до тех пор, пока круг перестанет сам себя перекрывать. Первый из таких кругов пусть имеет геодезический радиус Tt Он должен кас!Ргься самого себя в некоторой точке окружности р, и два егс^ радиуса, проходящие через р, вместе взятые, образуют геодезический „одноугольник" с вершиной а, ибо в точке р радиусы гладко прилегают друг к другу, так как оба они перпендикулярны к окружности. К этому одноугольнику мы применим теорему Гаусса-Бонне (§ 76, 77) « найдем:
тде о) есть внешний угол при точке а. Если мы надлежащим образом выберем одну из двух поверхностей, офаниченных нашим одноугольником, то мы будем иметь X) -^ о> < тг, и потому

it < KdO < 2тг.
Входящий в эту формулу интеграл представляет собой площадь Q сферического отображения нашего одноугольника на единичную сферу. Согласно изопериметрической теореме для сферических кривых (задача 7 $ 32) для периметра Л сферического отображения нашего одноугольника мы имеем соотношение:
*
Пусть теперь ds и rfa — соответствующие элементы дуги для овальной тюверхности и ее сферического отображения, и пусть р есть минимум
ds •отношения -зг-нв поверхности F. Укажем мимоходом, что р есть наи-
меньший из главных радиусов кривизны поверхности F. Поэтому для периметра 2Т нашего одноугольника мы имеем:
27>РЛ> j/-3~Up.
Если теперь 2R есть наименьшее из двух чисел -кВ и yl^S тер, то мы
.тиожем быть уверены, что каждый геодезический круг { а, 27? } поверхности F покрывается своими радиусами просто.
Если теперь точка b лежит вну!ри или на границе круга (а, 2/?}, то та часть /• дуги геодезического радиуса этого круга, которая сое-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика