Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

230 • ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
вать 81 = О. Отсюда, аналогично тому, как мы это сделали в § 28, мы получим:
— = ХЛГ, Х = const. (52)
Pf
Но согласно теореме Бонне:
?+»-*.
и, следовательно:.
• Рд J
А так как овальная поверхность всюду имеет положительную меру кривизны: /(> 0, то мы имеем Х = 0 и — = 0. Следовательно, наша кривая является действительно геодезической линией.
Что касается существования решения вариационной проблемы ST= 2it; L = min., то наличие этого решения представляется очевидным; что оно действительно существует, может быть доказано теми методами которые были созданы в связи с гильбертовыми исследованиями о так называемом принципе Дирихле 1. Пуанкаре старался при помощи мысленного физического эксперимента дать наглядное доказательство того, что замкнутая геодезическая линия, дающая решение задачи, не имеет кратных точек.
Наличие одной замкнутой геодезической линии можно было бы, пожалуй, еще нагляднее показать следующим образом. Представим, себе^ что наша овальная поверхность есть поверхность твердого тела и вообразим себе замкнутую, нерастяжимую, но гибкую нить, которая достаточно длинна для того, чтобы тело, взятое в надлежащем положении, могло пройти сквозь нить. Если теперь мы начнем укорачивать нить, то будет существовать некоторая предельная длина, при которой тело при наиболее выгодном взаимном расположении его с нитью еще сможет проскользнуть через отверстие нити. Но тогда в момент проскальзывания нить должна целиком расположиться на поверхности тела, так как в противном случае она могла бы быть сделанной еще короче. По той же причине нить в этом положении должна образовать на теле его замкнутую геодезическую линию.
Не нужно смешивать эту задачу с задачей о построении цилиндра наименьшего охвата, касающегося овальной поверхности, ибо касатель-тельные плоскости вдоль замкнутой геодезической линии отнюдь не должны образовывать обязательно цилиндр.
После того как "мы таким образам показали существование одной замкнутой геодезической линии на каждой овальной поверхности, мы, пользуясь сообщением Герглотца (G. Herglotz), покажем, что таких геодезических линий, не имеющих двойных точек, существует по крайней мере три.
1 См. например, О. Bolza, Vorlesungen tiber Variationsrechmmg, гл. IX, стр. 419—433, Leipzig und Berlin 1909; см. также ниже, § 101.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика