Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

220 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ в ЦЕЛОМ
менными, лишь бы при этом сохранялось направление обхода 1. Мы имеем:
-ft (ху„У) = (х,У«У) + (xyecy)-f (хуяу„), •gj (ху* У) = (х„У.У) + (хуи,у) + (ху,у„). Вычитая почленно, мы получаем отсюда:
2 (ху„у,) = (х„у,у) — (х„у „у) + w (xyey) — -^ (ху„у> (25)
В нашем случае первые два члена правой части в силу соотношения (16) взаимно уничтожаются. Поэтому наш двойной интеграл, если он распространен на односвязную область, дает криволинейный интеграл
2 //(ху„У„) du dv = (х, rfy, у), (26)
взятый в надлежащем направлении.
Пусть теперь поверхность (х) есть овальная поверхность. Мы можем, следовательно, провести на ней замкнутую линию, , не имеющую двойных точек и разбивающую поверхность на две односвязные части. К каждой из этих частей мы применим формулу (26), и полученные уравнения сложим почленно. Мы получим тогда:
(27) С другой стороны для каждой из этих двух частей мы имеем:
/JW» У.) *и dv = J/(xxA) (aS— ft) du dv. (28)
Возьмем за начало координат точку, лежащую внутри поверхности (х), и подберем параметры и, v так, чтобы (ххих„) > 0. Тогда в силу соотношения (22) подинтегральная функция правой части формулы (28) больше или равна нулю, и интеграл, который должен в силу формулы (27) дать нуль, может обратиться в нуль лишь в том случае, если a = (3 = 7 = 8. Но тогда в силу соотношений (17) у„ — у„ = 0 и, следовательно, у(?) зависит только от t. Интегрируя уравнение (15), мы получим:
(29)
Это значит, что овальная поверхность движется, как твердое тело, ибо-расстояние между двумя точками
xi = х («L v» f), х2 = х (н2, и2; f) остается неизменным:
8(х2 — Xj)2 = 2(zz — zl, x2 — x1)^==2(y,x2— Xj.Xa — x,)^=0. (30) Этим мы доказали наше утверждение.
1 В этом легко убедиться непосредственным преобразованием интеграла к новым переменным. Подинтегральное выражение преобразуется в новое,, отличающееся от первоначального множителем, равным обратной величине якобиана подстановки. Прим. перев.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика