Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

210 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Главный результат „Исследований" — именно инвариантность кривизны относительно изгибания — был известен Гауссу уже в 1816 г.т в 1822 г. Гаусс дал вывод, опирающийся на представление линейного элемента в изотермической форме.
Лишь в 1826 г. ему удалось вывести выражение кривизны для элемента дуги, заданного произвольным образом.
Изгибание поверхностей еще до Гаусса было предметом исследований Эйлера и Монжа; именно оба эти автора задавались вопросом о разыскании поверхностей, отображающихся на плоскость изометрически. Геодезическая кривизна и ее интеграл впервые стали изучаться Гауссом (Werke, т. 8, стр. 386). Быть может, ему уже была известна интегральная формула Бонне (77), устанавливающая связь между теорией поверхностей и неевклидовой геометрией, основание которой было также заложено Гауссом.
Своими „Исследованиями" Гаусс сделал первый после Монжа значительный шаг вперед в теории поверхностей и на развитие геометрии эта его работа оказала очень большое влияние. Продолжением ее явились работы Миндинга, Майнарди, Кодацци, Бонне и Якоби. Но наиболее значительный шаг в дальнейшем развигии идей Гаусса сделан был Риманом в его диссертации 1854 г. О ней мы будем' еще иметь случай упомянуть в связи с дальнейшим изложением.
Историческую оценку того вклада, который сделал в геометрию „Princeps mathematicorum", читатель найдет в работе Штеккеля (P. Stackel; С. F. Gauss als Geometer, Leipzig 1918).
§ 90. Задачи и теоремы
1. Геометрическое истолкование меры кривизны. Если S(e) есть длина дуги кривой, идущей параллельно геодезической линии на геодезическом расстоянии е от последней, то
где через К обозначена гауссова кривизна поверхности вдоль геодезической линии. Ср. ниже § 99, а также P. Lngel, Leipz. Вег. т., 53, стр. 409, 1901.
2. Особый вид уравнения геодезической линии. Если поверхность отнесена к геодезическим параметрам, так что элемент дуги ее ds имеет выражение
ds2 = diP + G (и, v) dv\
то точка и, v описывает на поверхности геодезическую линию в том случае, когда угол а, под которым линии v = const, пересекаются этой кривой, удовлетворяет соотношению:
da = д
dv ~ ди '
Oauss, Werke, IV, стр. 244.
3. Геометрическое истолкование второго диференциального параметра Бельхрами.
Пусть <р есть некоторая функция точки кривой поверхности, s^ и s2 — длины дуг двух кривых, лежащих на поверхности и пересекающих друг друга под прямым углом, gi и ga — геодезические кривизны этих линий в точке их пересечения. Тогда для этой точки мЧы будем иметь:
E. Cesaro, Lezioni di geometria intrinseca, стр. 165, Napoli 1896,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика