Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

200 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
вопрос, определяется ли поверхность с точностью до конгруентных преобразований своими формами (158), является таким образом эквивалентным такому вопросу: можно ли подвергнуть поверхность такому изгибанию, при котором ее линии кривизны остались бы линиями кривизны?
Этот вопрос можно сформулировать иначе следующим образом: существуют ли поверхности, отличные от данной и могущие быть изометрически отображенными на нее так, чтобы линии кривизны отображались бы на линии кривизны? На этот последний вопрос ответ был дан уже Бонне *. Он показал, что ответ должен быть в общем случае отрицательным. Поэтому в общем случае поверхность с точностью до конгруентных преобразований однозначно определяется двумя своими линейными формами (158). Как мы увидим, лишь три класса поверхностей составляют исключение. Таким образом существуют некоторые специального вида поверхности, которые могут быть изогнуты с сохранением линий кривизны.
Мы примем, что на рассматриваемых поверхностях существует однозначно определенная сеть линий кривизны, т. е. мы предположим, что
г-7фО. (159)
Этим мы исключаем из рассмотрения плоскость и сферу. Тогда, как мы видели в § 62, формами (158) определяются инварианты q и q, а также величины я* и п1, с помощью которых образуются инвариантные производные. Наша проблема аналитически может быть сформулирована таким образом: могут ли быть однозначно определены с помощью одних только форм (158) инварианты г и г? Действительно, если мы могли бы найти инварианты г и г, то можно было бы определить и все их инвариантные производные, так как инвариантные диференцирования совершаются с помощью величин п\п\ а последние могут быть определены из одних только форм (158). Далее нам известны, разумеется, величины q иди все их инвариантные производные. А в такрм случае, как было-показано в § 63, мы могли бы решительно все абсолютные инварианты поверхности найти по формам (158); и поверхность была бы определена двумя своими линейными диференциальными формами однозначно с точностью до конгруентных преобразований.
Заметим теперь, что главные кривизны поверхности гиг, так же как и главные радиусы кривизны /?г и /?а [формулы (30) и (31) § 44], вообще определяются лишь с точностью до знака, ибо, как видно, например, из формулы (19) § 42, величины L, М, N определяются лишь с точностью до знака радикала, входящего в знаменатели их выражений. Для однозначного определения поверхности по ее формам (158) достаточно, следовательно, иметь возможность найти, скажем, величины:
г7=К (160>
(К— гауссова кривизна) и
г* = 5, (161)
1 О. Bonnet, Sur la theorie des surfaces appllcables sur une surface donnee, Journ. de 1'Ecole polytechnique XXV (Cahier 42), стр. 58 и след., 1867.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика