Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

20 ВЕКТОРЫ **
торые и после преобразований (35) не содержали бы величин bilc. Мы можем теперь счисть, что все векторы исходят из одного неподвижного начала, и подстановкам (35), (33) соответствуют преобразования, составленные из поворотов вокруг начала и зеркальных отражений относительно плоскостей, проходящих через начало.
К числу инвариантов векторов безусловно принадлежат скалярные произведения
<4W4®)K Р=1, 2,...,/»— 1], (36)
ибо, как мы видели в § 1, они имеют определенный геометрический смысл. Теперь можно показать, что скалярные произведения (36) уже дают полную систему инвариантов наших векторов ij (т. е. наших точек х). Предварительно мы заметим следующее: образуя детерминанты и векторные произведения, мы можем при помощи формул (25) и (26) § 2 узнать, какие из наших векторов являются линейно зависимыми. Представим себе затем, что мы выделили из всех векторов цз векторов, где s есть максимальное число линейно независимых векторов в нашей системе. Эти s выбранных нами векторов мы назовем основными векторами. Число S может быть равным 1, 2 или 3. Положим далее; что нумерация точек и векторов изменена так, что первые s векторов т|(1), if®,..., ц^ суть основные векторы; тогда остальные векторы Ч("-н\ ч}(8+2),..., ij^-1) можно представить как линейные комбинации основных векторов:
4 здесь г изменяется от (s + l) до (р — 1), а число коэфициентов а, равно s (р — 1 — -s). Эти коэфициенты а представляют собой инварианты наших векторов и их можно выразить через скалярные произведения. Именно, умножая скалярно (37) на ijw(f=l, 2,..., s), мы получаем :
Для каждой группы s величин а, соответствующих одному определенному индексу г, мы получаем таким образом систему s линейных уравнений. Элементами определителя s-ro порядка системы этих уравнений
|(4W4W)I (39)
являются скалярные произведения основных векторов. Величины а всегда можно выразить через входящие в формулу (38) скалярные произведения, так Как определитель (39) не равен нулю.
• Чтобы убедиться в этом, мы рассмотрим в отдельности три случая: * = 3, 2, 1.
Для случая s = 3 определитель (39) согласно теореме умножения (20) равен квадрату детерминанта
- (Ч(1). Ч(2), Л (40)
Этот детерминант не может обращаться в «уль, ибо в этом случае
согласновформуле (26) основные векторы ij(1), Tj(a); i/3) были бы во-

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика