Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

190 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Уравнения (103) дают таким образом семейство, зависящее от двуг параметров, т. е. в некоторой окрестности дают все геодезические линии. Итак, если на поверхности нам известно зависящее от одного параметра X множество семейств параллельных кривых, то с 'помощью уравнения (103) можно определить геодезические линии этой поверхности.
§ 81. Второй диференциальный параметр Бельтрами
Для получения другого инвариантного диференциального процесса мы возьмем за исходный пункт вариационную проблему теории поверхностей, представляющей собой естественное обобщение так называемой первой краевой задачи теории потенциала. Именно, мы поставим себе задачу найти на данном односвязном куске поверхности функцию да, заданную своими граничными значениями так, чтобы она давала минимум интеграла:
Здесь Wdu dv = do есть элемент площади нашей поверхности. Пусть будет функцией сравнения, так что $ должна на границе обращаться в нуль. Тогда будем иметь:
V (?• '•?) Wdu d
Для того чтобы интеграл (108) имел минимальное значение, необходимо и в силу D . > 0 также и достаточно, ч^гобы центральный интеграл обращался в нуль для любой функии fy, равной нулю на границе. Интегрируя по частям и принимая во внимание граничное условие ty = О, мы получим:
VM)
Если мы положим:
А? = тЦ. ( ^' ~йГ*1+ (G*U w F<** )J' <ш>
то можем переписать (110) таким образом:
//V (?. W WM di>= — J J>> • Д? . Wa rfw. (112)
Диференциальное же уравнение, которому должна удовлетворять функция э, будет иметь вид:
Дда = 0. (113)
Оно является обобщением диференциального уравнения Лапласа, имеющего место на плоскости:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика