Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

180 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Что же касается геодезических линий, то они никакого изменения
Ч в криволинейном интеграле не производят, ибо на них — = 0.
Ре
Если мы совершим предельный переход As -»• 0, учтя при этом, что интеграл по поверхности имеет порядок малости As9, то мы найдем следующую формулу:
-^ = Um"?- (79)
Это выражение положительно, если кривая лежит слева от ее геодезических касательных, как это иуеет место на черт. 16 (§ 76). Свойство (79) геодезической кривизны вполне соответствует основному свойству обыкновенной кривизны кривой (§ 7).
Применим теперь формулу Гаусса-Бонне к геодезическому треугольнику, ограниченному тремя геодезическими линиями и имеющему внешние углы о>Л и, значит, внутренние углы «Л = it — о>Л, и предположим, что К = const. Тогда мы найдем (через Т7 обозначена площадь треугольника):
или
W=«1 + aa + a8 — тс. (80)
Эта формула Гаусса показывает, что сумма углов треугольника (которая для случая К=0 равна, как известно, к) для ЛГ> 0 больше, а для ЛГ<0 меньше, чем т..
Это обстоятельство имеет теснейшую связь с основными фактами обоих видов неевклидовой геометрии, которая, по крайней мере в малом, осуществляется на поверхностях постоянной меры кривизны, как это было показано впервые Бельтрами 1.
Посмотрим теперь, что можно сказать, основываясь на формуле Бонне, о полной кривизне замкнутой поверхности.
В качестве первого примера мы рассмотрим поверхность связности сферы, т. е. поверхности, могущей быть приведенной во взаимнооднозначное и непрерывное соответствие с поверхностью сферы.
Замкнутое сечение, не имеющее двойных точек, разбивает такую поверхность на две односвязных области: 1, II. К каждой из этих областей мы можем применить формулу Бонне. Мы будем иметь:
И в том и в другом случае кривая должна описываться в таком направлении, чтобы соответствующая область оставалась по левую руку; значит, направления обходов будут противоположны. Поэтому соответствующие друг другу значения рд обратят сумму подинтегральных выра-
1 Е. Beltrami, Sagglo di interpretazione della geometria non-euclldea, соч. I, cip. 374-405,1868.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика