Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

1ТО ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
г = const, мы, пользуясь формулой, соответствующей формуле (12), получим выражение:
Для того чтобы эти гауссовы круги были одновременно и кругами Дарбу, необходимо, чтобы (} = у = 0. Но тогда в соответствующей точке вели-
чина К стационарна, ибо у обращается в нуль для всех направлений.
Если это должно иметь место для всех точек поверхности, то мера кривизны К должна быть постоянной на всей поверхности.
В дальнейшем (§ 84) будет показано, что условие К = const, является необходимым уже при более слабом требовании замкнутости всех кругов кривизны. Для гауссовых кругов эта замкнутость, разумеется, всегда имеет место.
§ 73. Поверхности постоянной гауссовой кривизны
Вопрос, поставленный нами в предыдущем параграфе, привел нас к важному классу поверхностей, для которых величина К постоянна. •Чтобы установить, в какой мере найденное нами условие К= const. является достаточным для тождественности кругов кривизны и кругов расстояния, мы подвергнем исследованию те метрические соотношения, которые присущи поверхностям постоянной меры кривизны. Эти исследования ведут начало еще от Миндинга (1830).
Введем гауссову геодезическую систему параметров, определенную нами в § 69:
я произведем этот выбор так, чтобы сверх того кривая и — 0 была также геодезической линией, длина дуги которой равна г» *. Тогда мы будем иметь:
0(0, «г)=1, 0„(0, «0 = 0. " (40)
Далее для меры кривизны мы согласно формуле (26) получим выражение:
Но из диференциального уравнения (41) и двух начальных условий (40) функция О может быть легко определена. Начнем со случая /С=0. В этом случае мы имеем:
/0 = Л(г»)и + В(г»). (42)
Граничные условия дают 5 = 1, Д = 0, и, следовательно, мы получаем:
1 Это всегда возможно, и притом бесчисленным множеством способов. За линию и = 0 можно взять любую геодезическую линию поверхности, за линии v — const. — семейство ортогонально пересекающих ее геодезических линий, за линии же и = const. — ортогональные траектории этого семейства (последние, -вообще говоря, не будут геодезическими линиями). Прим. перев.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика