Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

150 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
далее же, скалярно умножая обе части уравнения на Xj и х^, мы получим:
9== XjXj
Наконец, из (74 ) и (74d) мы получим:
(76>
Этим мы использовали все, .что мы можем извлечь из специального выбора векторов, входящих в уравнения (68).
Если мы напишем г вместо <х,3 и. г вместо а^, то в силу соотношений ?,х, = — gxjj и §2Х2 = — ^х,^ мы получим следующие основные уравнения:
'.'"—К* 00 (b)

S, = — rx,,
X21 —
(с)
(78)
(79)
Эти уравнения представляют собой не что иное, как формулы § 55, 57 т. е. деривационные формулы Гаусса и Вгйнгартена, записанные в инвариантной форме. Мы могли бы получить эти 'уравнения непосредственно из формулы § 55„ 57, введя в последние вместо обыкновенных производных инвариантные. Согласно формуле (52) § 46 при выборе линий кривизны в качестве параметрических линий мы будем иметь уравнения Родрига:
= ~"X И ? = ""X" %
Разделив обе части первого из этих уравнений на У~Ё, а второго на и приняв во внимание формулы (4), мы получим:
i =s "~~> гч " X-
(81)
Сравнив эти уравнения с уравнениями (79), мы видим, что величины
г к г суть не что иное, как обратные величины главных радиусов крищ визны RI и Я3. Пользуясь же первыми двумя из уравнений (78) и соотношением (|х,х2) = 1, мы получим:
/?V V ^ —? —г П (Я\ (ETC ТС \ ----> _1~(1 (\\\ /"QON
(5л1лц/ — 'Vi \Л) ^5*2^22/ IT"* \ ' \fi^)
Следовательно, величины q и q с точностью до знака представляют Геодезические кривизны полос кривизны.
В § 58 мы видели, что уравнения Кодацци и гауссова Theorema egregium прздставляют собой условия интегрируемости той системы

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика