Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

140 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
определения (4). Обращением соотношений (4) и (9) мы получаем, например:
Итак, мы свели нашу задачу к следующей: из векторов (14) и функций Е(и, v), G(u, v), т. е. из Е, G и всех их обыкновенных производных *, образовать всевозможные абсолютные инварианты. Но из величин Е, О и их производных мы заведомо можем взять лишь величины:
Е, Еи> ^«1«% ?«««>••• !
О, Ot, G^, Gm,,.,., J т. е. лишь чистые производные Е по и и чистые производные G по •», ибо все остальные производные величин Е и G могут быть определены с помощью величин (16) и векторов (14). В самом деле, так как xt и х2 линейно независимы, то из векторного уравнения
можно выразить величины q и q через скалярные функции первых и вторых инвариантных производных вектора х. Затем могут быть, конечно, определены и инвариантные производные величин q и q, т. е. величины qv qv qv... через инвариантные производные вектора х
соответствующих порядков. Но, зная q, q и величины (16), можно с помощью формулы (12) определить также Et и GM. Точно так же нетрудно видеть, что, зная qv qv qv qz и величины (16), мы найдем производные ?„„, ?,,„, GUM, Guv величин Е, G и т. д. Таким образом мы получаем следующее общее предложение: все те производные величин Е и G, которые не_ содержатся в (16), могут быть определены с помощью величин q, и q, их инвариантных производных и величин (16). А так как величины q, q, qv qv y,. . . могут быть получены из векторов (14), то мы можем также сказать, что все производные величин Е и G, не содержащиеся среди величин (16), могут быть получены из величин (16) и из векторов (14). Этим мы показали, что для образования полной системы инвариантов нашей поверхности достаточно иметь векторы (14) и величины (16). Но оказывается, что величины (16) должны быть вовсе оставлены, так как не может быть и речи об их использовании для образования абсолютных инвариантов. В самом деле, компоненты всех векторов (14) являются, каждая в отдельности» инвариантами относительно преобразований параметров; величины же (16) преобразуются по формулам:
E* = E-f*, G* = G-g-'2( <» = Е J* + 2Eff, 0^ = О^'з -f- 20//',
и т. д.
_ _
1 ^десь ч в дальнейшем под обыкновенными производными (gewohnliche Ableitungen) имеются в виду ач а с т н ы е, но не инвариантные производные- Прим. перев.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика