Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

130
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Условие «j ~ jjj = «2 s= p2 =a 0 дает уже известную нам основную теорему Гаусса, утверждающую, что кривизна
к= g;-ff аз?)
может быть выражена через коэфициенты одной только первой основной формы. В § 45 мы вывели формулу Гаусса в той форме, которая была дана ей Бальцером; ее можно представить также и в следующей симметричной форме, данной Фробениусом (G. Frobenius) (иррациональность этой формулы лишь кажущаяся):
(138)
Уравнения TI =s ^2 = a8 = JJ3 = 0 дают нам уже нечто новое; мы получаем две формулы, впервые данные Майнарди (G. Mainardi, 1857) и Кодацци (D. Codazzi, 1868). Именно, условия "fi = ° и «3 —0 с одной стороны и условия f2 = 0 и Р3='0 с другой дают одну и ту же формулу. Эти формулы можно представить в следующей удобной для обозрения форме, указанной Штуди:
к 1 F F E *•• *-и ч F F F * ' и ' « [ i f a E.-F. д 1 С? ц|| /J %
4W* 2W { dv W ди W }'
(EO — 2FF-\-OE)(L. — MJ — (EN—<2FM + GL)(E,-FU) ^ E EUL F Fu M G GUN = 0,
(EG 2 FF4- GE) (M N ) ЕЕ, L
—L. F F M — 0
— (EN — <2,FM -j- QL) (F, — GJ G Gv N
(139)
Что же касается условия Ye —О» то оно выполняется тождественно. Таким образом соотношениями (138) и (139) исчерпываются зависимости, существующие между основными формами I и II, а заданием этих форм, как можно показать, исходя из уравнений (120), (133), наша поверхность определяется по существу однозначно. Это было впервые показано Бонне (О. Bonnet) в 1867 г. Во второй части мы проведем совершенно аналогичное доказательство полностью.
§ 59. Монж
Основы современной диференциальной геометрии заложены, если не говорить о таких ее предтечах, как Эйлер, Монжем (1746 —1828) и его учениками, с одной стороны, и Гауссом (1777 —1855) — с другой. Основной работой Монжа является его „Приложение анализа к геометрии" („Application de I'Analyse a la Geometric"); первое его издание вышло в 1795 г. Основная работа Гаусса—его мемуар 1827 г. „Общие исследования, относящиеся к кривым поверхностям" („Disquisitiones generates circa superficies curves", 1827). Эти две работы имеют совер-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика