Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

120 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 53. Асимптотические линии на линейчатых поверхностях
Задача нахождения асимптотических линий несколько упрощается для случая линейчатых поверхностей, т. е. таких поверхностей, которые имеют целое семейство прямолинейных образующих. Такую поверхность можно всегда представить в виде:
x = y(t;)-fz(t>)-a. (Ю!)
Вектор z можно, не нарушая общности, считать единичным za=l. Отсюда мы получаем:
xtt = z, x,==y, + z,a; (102)
Хщ^О, *„ = *.. х„ = уте + г„н, (103)
и уравнение асимптотических линий (99) принимает вид:
[2z/« dv 4- (у„ + z,,«) dv\ z, y, -f г,и\ = 0 (104)
или
dv • { 2 (ztzjO du 4- (у„ + г„щ z, у, + г,и) dv } = 0. (105)
Таким образом одним семейством асимптотических линий является семейство прямолинейных образующих (dv = Q).
Приравнивая нулю выражение, стоящее в фигурных скобках, мы получим второе семейство асимптотических линий.
Если
(ЗДОФО, (Ю6)
то диференциальное уравнение второго семейства асимптотических линий имеет вид:
jg. = /V + 2Q«4-/?, (Ю7)
где Р, Q и /? являются функциями одного переменного v. Уравнение .вида (107) носит название уравнения Риккати по имени итальянского-геометра (J. Riccati), его изучавшего. Нетрудно показать, что* какие-либо-четыре решения этого уравнения uk(v); k=l, 2, 3, 4 обладают постоянным, т. е. не зависящим от величины v ангармоническим отношением:
(108>
a — s «2 — Ц4 .
Для этого достаточно убедиться в том, что логарифмическая производная этого ангармонического отношения тождественно равна нулю:
А и' — и' и' — и' и' —и' и' — и1,
JL\gD = — s - 3- --- i— J --- 1 - - + — * - - = 0. (109) dv & «1 — «з иг — н3 ui — ut * «2 — ц4 v 7
Действительно, с помощью уравнения (107) мых тотчас же получаем. четыре соотношения, аналогичные соотношению:
HI— «з и отсюда следует справедливость формулы (109).
Геометрический смысл этого результата состоит в том, что линии второго семейства асимптотических линий пересекают -линии первого (т. е. прямолинейные образующие нашей поверхности) так, что соответ-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика