Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бляшке В.N. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна
 
djvu / html
 

НО ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
значит, интегрируя уравнение |dx = 0, мы получим уравнение плоскости:
|х = const.
Итак мы доказали следующее предложение: сферы (к числу которых мы относим и плоскость) суть единственные поверхности, все точки которых являются точками округления.
§ 48. Теорема Дюпена
Во многих случаях (например для поверхностей второго порядка) удается определить линии кривизны, т. е. проинтегрировать диферен-циальное уравнение (46), опираясь на одну изящную теорему, данную Дюпеном. Представим себе, что координаты xk точки пространства представлены как функции трех параметров и, v и w:
xk = xk(u> v> да)> (58>
или в векторных обозначениях: г
х = х(и, v, w).
Величины и, v, w называют „криволинейными координатами" точки в пространстве, если уравнения (58) можно разрешить относительно и, v, w, т. е. если функциональный определитель хг х^, д"3 по и, v, w не равен тождественно нулю. Предположим, что каждая из поверхностей — и = const, и v = const. — пересекает все поверхности двух других семейств под прямым углом. В этом случае говорят, что три семейства поверхностей образуют прямоугольную сеть поверхностей или триортогональную 'систему.
Так, например, если мы введем полярные координаты;
Xi = r sin & cos xz = r sin & sin w,
X.j — ГС05 ft,
то" поверхности г — const, будут концентрическими сферами, поверхности & = const. — круглыми конусами, а поверхности о = 0 — плоскостями. Эти три семейства поверхностей образуют триортогональную систему. Условия триортогональности могут быть представлены соотношениями:
х„хю = 0, х„х„ = 0, х(х„ = (Г, (59)
в которых, например, через х„ обозначен вектор с компонентами -~ . Квадрат элемента^ дуги в триортогональной системе координат выражается формулой:
= х^ du* -f i J dv* -f x^
Теорема Дюпена, содержащаяся в основной его работе (С h. Dupin, Developpements de geometric, Paris 1813), может быть сформулирована следующим образом:
поверхности, образующие триортогональную систему, пересекаются попарно друг с другом по их линиям кривизны.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика