Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

•90 гл. iv. ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ
Имеются другие важные примеры, в которых I — I* ир симметрично. Следующий случай является типичным.
Пример 3. Пусть А = || ац ||—какая-нибудь симметричная {пхи)-матрица; тогда а^а^-гс,-= О определяет коническое сечение, квадратичную поверхность или квадратичную гиперповерхность Q в зависимости от того, будет ли п~3, п = 4 или п > 4. Для двух векторов ? = (хй, .. ., хп) и -ц = (у0, . .., г/„) проективного л-пространства / мы определим Ерт] в том смысле, что Xiu^yj — 0. «Замкнутыми» подмножествами пространства / являются тогда его точки, прямые, плоскости и другие подпространства; если X— какое-нибудь такое подпространство, то X* есть его поляра*) относительно Q.
Последний пример наводит на мысль называть в общем случае множество X* полярой X по отношению к р; он приводит также к следующему результату.
Следствие. Если I — I* и отношение р симметрично, то Х* — Х* и в полной структуре замкнутым множеств X — (X*)* соответствие Х-^>Х* является инволюцией. Символически
(Х*)* = Х, (4)
(XftY)* = X*\JY*, (X\JY)* = X*f\Y*. (5)
ч
Если р также антирефлективно (если хрх не имеет места ни для какого х или если из хрх следует хру для всех у), то
ХГ)Х* = 0 и X[JX*=I. (6)
Пример 4. Пусть /—некоторая группа и пусть хру оана-чает, что ху — ух. Тогда имеют место (4) — (5); замкнутые множества суть некоторые подгруппы, а соответствие X—>А~* переводит каждую подгруппу в ее «централизатор».
Пример 5. Пусть/—некоторая совокупность и пусть хру означает, что хфу. Тогда имеют место (4) — (6); каждое множество замкнуто, а инволюция Х~>Х* переводит каждое множество в его теоретико-множественное дополнение.
Пример 6. Пусть /—линейное и-пространство и пусть хру означает, что х _|_ у (х ортогонально у). Тогда имеют место равенства (4) — (6); «замкнутые» подмножества суть линейные подпространства, и инволюция переводит каждое подпространство в его ортогональное дополнение. (Это есть частный случай примера 3.)
Доказательство. Так как Х* = Х*, то (4) следует из (3), а (5) из теоремы 9, ибо дуальный изоморфизм переставляет местами объединения и пересечения. Далее, в (6) множество X П X* содержит только такие элементы х, что хрх,
') См. Н. В. Ефимов [11, стр. 415.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика