Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ 9
продолжить до двустороннего гомоморфизма, который есть изоморфизм. Далее, если 31 определено как множество всех алгебр, удовлетворяющих множеству @ тождественных соотношений, то мы можем описать Рп(Щ как алгебру с п образующими, удовлетворяющую @, для которой всякая другая алгебра с п образующими, удовлетворяющая <5, является гомоморфным образом.
В даваемых дальше приложениях мы покажем непосредственно некоторые свободные алгебры и докажем, что они удовлетворяют нашему описательному определению. Тем не менее может быть интересным дать конструктивное определение Рп(Щ, доказывающее существование Рп(Щ во всех случаях. Для этого мы берем, прежде всего, п символов ak и называем «значением» символов ай всякое их однозначное отображение Ф в элементы из ,4?3t. Далее, мы назовем /а «функциями порядка один» и определим «функцию порядка т» пр индукции, как операцию вида
/a (8i (х\, . -., xr(i)).....gn (*?, • • •, a$B))), <3>
где gk — функция порядка, не превышающего т—1. Очевидно, что любая функция порядка т определяет при всяком значении символов ah и при всякой подстановке их в (3) вместо х\ элемент g(x'i, ..., ж" .) алгебры А, содержащей ah. Так, например, если мы рассматриваем группу как алгебру с операциями х'1 и ху, то (аг1?/) х будет функцией порядка три.
Теперь мы можем легко определить Рп(Щ. Элементы из
Fn(9l) представляют собой как раз символы g(x\.....*?(„))>
в которых каждое х\ замещается некоторым aft. Два таких символа считаются равными тогда и только тогда, если они дают один и тот же результат для каждого значения Ф. По определению, эти равенства являются в точности тождественными, соотношениями, справедливыми в каждом А?У(.
Отсюда следует, что Fn (Щ есть подалгебра прямого произведения изоморфных образов алгебр А б 31, по одному множителю для каждого значения Ф. Кроме того, любая алгебра В с п образующими, удовлетворяющая всем тождественным соотношениям, справедливым во всяком А, является гомоморфным образом Рп(Щ; следовательно. Рп(Щ есть свободная алгебра; с га образующими, определенная для- 31 в смысле нашего описательного определения.
Упражнения
1. Пусть А—алгебра, S—подалгебра алгебры А и 0 —отношение конгруэнтности на А. Показать, что множество всех элементов из А, конгруент-ных во mod0 по крайней мере одному х ?5, образует подалгебру.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика